Cô làm cách lớp 8 sợ bạn ấy không hiểu :) Cô nên cho bài toán phụ chứng minh. Ngoài ra em có một cách khác ( của lớp 7 ), bạn sẽ hiểu hơn.

Cô trình bày theo cách của lớp 8:

Gọi I, J là trung điểm của DE và MN. Theo tính chất đường trung bình của hình thang, ta có : IJ // DM // EN và 2IJ = DM + EN.

Do AD = BE; ID = IE nên I là trung điểm AB. Lại có IJ // BC nên IJ là đường trung bình tam giác ABC. Vậy 2IJ = BC. 

Từ đó suy ra BC = DM + EN.

Khó quá đấy !

Kẻ NF // AB (F thuộc BC)

Xét tam giác BEF và tam giác NFE có:

BEF = NFE (2 góc so le trong, NF // BE)

FE chung

EFB = FEN (2 góc so le trong, EN // FB)

=> Tam giác BEF = Tam giác NFE (g.c.g)

=> BE = NF (2 cạnh tương ứng)

mà BE = AD (gt)

=> AD = NF

Xét tam giác ADM và tam giác NFC có:

MDA = CFN (2 góc đồng vị, DM // FC)

DA = FN (chứng minh trên)

DAM = FNC (2 góc đồng vị, AD // NF)

=> Tam giác ADM = Tam giác NFC (g.c.g)

=> DM = FC (2 cạnh tương ứng)

mà EN = BF (tam giác BEF = tam giác NFE)

=> DM + EN = BF + FC = BC

tuy bạn ko cần vẽ hình nhưng mik vẫn mún vẽ để bạn thấy rõ hơn.

sau khi đọc lời giải, nếu thấy mik đúng thì chúng ta kb. okey?

QUA N KẺ ĐƯỜNG THẲNG // VS AB CẮT BC TẠI I. NỐI DI, EC

XÉT T/G BDI VÀ T/G NID CÓ:  GÓC BDI= GÓC DIN (VÌ IN//AB)

                                                   DI CHUNG

                                                   GÓC BID = GÓC IDN (VÌ DN//BC)

=> T/G BDI= T/G NID (G-C-G)

=> BI= DN (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG) (1)

XÉT T/G ADN VÀ T/G EBI CÓ: AD= BE (G/T)

                                                  GÓC ADN= GÓC EBI (VÌ DN//BC, E,D THUỘC AB)

                                                  BI=DN (CMT)

=> T/G ADN= T/G EBI (C-G-C)

=> GÓC BEI = GÓC DAN (2 GÓC TƯƠNG ỨNG)

HAY GÓC BEI= GÓC EAC ( VÌ D,E THUỘC AB, N THUỘC AC)

 MÀ GÓC BEI VÀ GÓC EAC LÀ 2 GÓC ĐỒNG VỊ

=> EI//AC

LẠI XÉT T/G EIC VÀ T/G CNI CÓ:  GÓC IEC = GÓC ECN (VÌ EI//AC)

                                                         EC CHUNG

                                                         GÓC ICE= GÓC CEN (VÌ EN//BC)

=> T/G EIC = T/G CNI (G-C-G)

=> EN= IC ( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG) (2)

TỪ (1) VÀ (2) => DM+ EN = IB+ IC

                       => DM+ EN = BC (VÌ I NẰM GIỮA B VÀ C)

=> ĐPCM

Kẻ NF // AB (F thuộc BC)

Xét tam giác BEF và tam giác NFE có:

BEF = NFE (2 góc so le trong, NF // BE)

FE chung

EFB = FEN (2 góc so le trong, EN // FB)

=> Tam giác BEF = Tam giác NFE (g.c.g)

=> BE = NF (2 cạnh tương ứng)

mà BE = AD (gt)

=> AD = NF

Xét tam giác ADM và tam giác NFC có:

MDA = CFN (2 góc đồng vị, DM // FC)

DA = FN (chứng minh trên)

DAM = FNC (2 góc đồng vị, AD // NF)

=> Tam giác ADM = Tam giác NFC (g.c.g)

=> DM = FC (2 cạnh tương ứng)

mà EN = BF (tam giác BEF = tam giác NFE)

=> DM + EN = BF + FC = BC

qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I

Nối EC  ; DI 

xét tam giác BDI và tam giác NID có :

\(DI\) là cạnh chung

\(\widehat{DBI}=\widehat{DIN}\) (vì IN // AB)

\(\widehat{BID}=\widehat{IDN}\) ( DM // BC)

\(\Rightarrow BI=DN\) (2 cạnh tương ứng ) ( 1)

xét \(\Delta ADN\)   và \(\Delta EBI\)    CÓ:

AD=BE  ( gt)

góc ADN = goác EBI ( DM//BC ; E,D thuộc AB )

BI=DN ( cmt )

\(\Rightarrow\widehat{BEI}=\widehat{DAN}\) (2 góc tương ứng )

hay \(\widehat{BEI}=\widehat{EAC}\) ( vì \(D,E\in AB;N\in AC\) )

mà \(\widehat{BEI}\)  và \(\widehat{EAC}\)  là 2 góc đồng vị

\(\Rightarrow EI\) // \(AC\)

 xét \(\Delta EIC\)  và \(\Delta CNI\) có :

\(\widehat{IEC}=\widehat{ECN}\) ( vì  EI//AC)

EC chung 

\(\widehat{ICF}=\widehat{CEN}\) ( vì EN // BC)

\(\Rightarrow\Delta EIC=\Delta CNI\) ( g.c.g)

\(\Rightarrow EN=IC\) ( 2 cạnh tương ứng ) ( 2)

từ (1 ) và (2) => DM+EN=IB+IC

=> DM+EN=BC ( I nằm giữa A và B ) (ĐPCM )