Chứng minh các bất đẳng thức sau:
\(\frac{\left(a+b\right)}{2}^{^2}+\frac{a+b}{4}=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
với a,b>0
Những câu hỏi liên quan
chứng minh bất đẳng thức sau:
a, \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\) với a>0,b>0, a khác b
b, \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\) ≥ \(\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
a/ Bình phương 2 vế:
\(\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\le\frac{a+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ Bình phương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
Ta có a và b không âm nên
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)(bất đẳng thức cô - si)
Cần chứng minh \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\). Xét hiệu hai vế
\(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\)
Xảy ra đẳng thức \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)hoặc\(a=b=0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
bạn áp dụng bất đẳng thức CÔ - SI là ra
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh đẳng thức sau với a,b > 0
\(\frac{a+2\sqrt{ab}+9b}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}-2\sqrt[4]{ab}}-2\sqrt{b}=\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right)^2\)
ai giúp mk với, các CTV các god đâu oy, mk cần gấp lắm
Đúng 0
Bình luận (0)
Giups
Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)
Bạn theo đường link này là ra
https://olm.vn/hoi-dap/question/1043868.html
P/s hok tốt
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng với các số a,b thỏa mãn \(\left|a\right|\le1,\left|b\right|\le1\) ta có bất đẳng thức \(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\le2\sqrt{1-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}\)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2=1\) với \(a\ge0;a\ne1\)
b) \(\frac{a+b}{b^2}\sqrt{\frac{a^2b^4}{a^2+2ab+b^2}}=\left|a\right|\) với \(a+b>0;b\ne0\)
Phá ngoặc
Rồi tính bình thường
Trượt tiêu khi có thể
Sẽ ra đc kết quả VT
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh giúp mình mấy câu bất đẳng thức này nhaa) frac{2sqrt{ab}}{sqrt{a}+sqrt{b}}lesqrt[4]{ab}left(a,b0right)b) left(sqrt{a}+sqrt{b}right)^8ge64ableft(a+bright)^2left(a,b0right)c) yleft(frac{1}{x}+frac{1}{x}right)+frac{1}{y}left(x+zright)leleft(frac{1}{x}+frac{1}{z}right)left(x+zright)left(0 xle yle zright)d) a+b+cge3left(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right)left(a,b,c0;a+b+cabcright)
Đọc tiếp
Chứng minh giúp mình mấy câu bất đẳng thức này nha
a) \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\left(a,b>0\right)\)
b) \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8\ge64ab\left(a+b\right)^2\left(a,b>0\right)\)
c) \(y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{y}\left(x+z\right)\le\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\left(x+z\right)\left(0< x\le y\le z\right)\)
d) \(a+b+c\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a,b,c>0;a+b+c=abc\right)\)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh đẳng thức sau:
\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\div\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=-1\)
Bài bên trên là nhầm đề bài ạ:
Đây mới đúng:
\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\div\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=-1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
bài 1 : chứng minh đẳng thức sau : a, left(frac{1-asqrt{a}}{1-sqrt{a}}+sqrt{a}right)left(frac{1-sqrt{a}}{1-a}right)^21 b, frac{a+b}{b^2}sqrt{frac{a^2b^4}{a^2+2ab+b^2}}↑1↑
Đọc tiếp
bài 1 : chứng minh đẳng thức sau : a, \(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2=1\) b, \(\frac{a+b}{b^2}\sqrt{\frac{a^2b^4}{a^2+2ab+b^2}}=\)↑1↑