Giúp bài này đi: Cho a,b,c > 0 và (a + b)(b + c)(c + a) = 1. CMR: \(ab+bc+ca<\frac{3}{4}\)
(Làm được rồi đăng lên cho vui thôi)
Cmr: (a(a−2b+c)/ab+1)+(b(b−2c+a)/bc+1)+)c(c−2a+b)/ca+1)≥0.
đây bài này thì like 2 tháng
Ai giúp em dùng đạo hàm giải bài này với ạ
Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc
Tìm min \(A=\dfrac{a}{a+bc}+\sqrt{3}\left(\dfrac{b}{b+ca}+\dfrac{c}{c+ab}\right)\)
Đặt \(x=\sqrt{\dfrac{a}{bc}}\) ; \(y=\sqrt{\dfrac{b}{ca}}\) ; \(z=\sqrt{\dfrac{c}{ab}}\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{yz}\) ; \(b=\dfrac{1}{zx}\) ; \(c=\dfrac{1}{xy}\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Khi đó, tồn tại một tam giác ABC sao cho:
\(x=tan\dfrac{A}{2}\) ; \(y=tan\dfrac{B}{2}\) ; \(z=tan\dfrac{C}{2}\)
Thay vào bài toán:
\(A=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\sqrt{3}\left(\dfrac{y^2}{1+y^2}+\dfrac{z^2}{1+z^2}\right)\)
\(=\dfrac{tan^2\dfrac{A}{2}}{1+tan^2\dfrac{A}{2}}+\sqrt{3}\left(\dfrac{tan^2\dfrac{B}{2}}{1+tan^2\dfrac{B}{2}}+\dfrac{tan^2\dfrac{C}{2}}{1+tan^2\dfrac{C}{2}}\right)\)
\(=sin^2\dfrac{A}{2}+\sqrt{3}\left(sin^2\dfrac{B}{2}+sin^2\dfrac{C}{2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosA+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(2-cosB-cosC\right)\)
\(=\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\left(cosA+\sqrt{3}cosB+\sqrt{3}cosC\right)\)
Xét \(B=cosA+\sqrt{3}\left(cosB+cosC\right)=cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}cos\dfrac{B-C}{2}\)
\(\le cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}=-2sin^2\dfrac{A}{2}+2\sqrt{3}sin\dfrac{A}{2}+1\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-2t^2+2\sqrt{3}sint+1\) với \(t\in\left(0;1\right)\)
\(f'\left(t\right)=-4t+2\sqrt{3}=0\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{5}{2}\) ; \(f\left(1\right)=2\sqrt{3}-1\)
\(\Rightarrow B_{max}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}-3}{4}\)
Xin các mems giúp bài toán này với:
Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. CMR: \(\sqrt{1-ab}+\sqrt{1-bc}+\sqrt{1-ca}\ge\sqrt{6}\)
cho a,b,c>0 và 1/ab+1/bc+1/ca>=1. cmr: a/bc+b/ca+c/ab>=1
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}\)
Ta có : a + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + c ) ( a + b )
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{a\left(a+b+c\right)-bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b\left(a+b+c\right)-ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c\left(a+b+c\right)-ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\left(a^2+ab+ac-bc\right)\left(b+c\right)+\left(ab+b^2+bc-ac\right)\left(a+c\right)+\left(ac+bc+c^2-ab\right)\left(a+b\right)\le\frac{3}{2}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
khai triển ra , ta được :
\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+6abc\le\frac{3}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)+3abc\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)\le-3abc\)
\(\Rightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge6abc\)( nhân với -2 thì đổi dấu )
\(\Rightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT lúc đầu đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài1:Cho a+b=1.Tính \(A=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2b^2.\left(a+b\right)\)
Bài 2: Cho a,b,c thuộc R t/m: ab+bc+ca=abc và a+b+c=1.CMR:(a-1)(b-1)(c-1)=0
Bài 3: Cho x-y=12.Tính A=x^3-y^3-36xy
Bài 4: Rút gọn A=(ab+bc+ca)(1/a+1/b+1/c)-abc(1/a^2 + 1/b^2 +1/c^2)
Ta có A=\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
=\(2\left(a+b+c\right)+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}=2\left(a+b+c\right)\)
\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2=a^2-ab+b^2+3ab\left(1-2ab\right)+6a^2b^2\)
=\(\left(a+b\right)^2-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2=1\)
2) Ta có \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)
bài 3 : Ta có \(A=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-36xy=12\left(x^2+xy+y^2\right)-36xy=12\left(x^2-2xy+y^2\right)\)
\(=12\left(x-y\right)^2=12.12^2=1728\)
Cho (a+b+c)^2 = 3(ab+bc+ca). CMR: a=b=c
Cho a^3+b^3+c^3 = 3abc. CMR: a=b=c và a+b+c=0
Cho a+b+c=0. CMR: a^3+b^3+c^3 = 3abc
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`VT>=0`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`
`a^3+b^3+c^3=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`**a+b+c=0`
`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>a=b=c`
cho dãy tỉ số ab+bc/a+b=bc+ca/b+c=ca+ab/c+a
cmr a=b=c
giải giúp mình 45 phút nữa mình đi học rồi
Bài5: cho a,b,c>0.CMR
1, 2/a+1/b >= 4/a+b
2, 1/a+1/b+1/c>= a/a+b+c
Bài 6: cho a,b>=0 cmr
1, a^3+b^4>=ab(a+b)
2, a^4+b^4>=ab(a^2+b^2)
3, a5+b5>=ab(a^3+b^3)
Bài 7 cho a,b,c>0 cmr
1/a^3+b^3+abc +1/b^3+c^3+abc+1/c^3+a^3+2 <1/abc
Bài 8cho a,b,c>0;abc=1
1, 1/a^3+b^3+2 +1/b^3+c^3+2 +1/c^3+a^3+2 =< 1
2,ab/a^5+b^5+ab +bc/b^5+c^5+bc + ca/c^5+a^5+ca =<1