giả sử \(x=\left(\sqrt{2}+1\right)^2=3+2\sqrt{2}\) là một nghiệm của pt \(ax^2+bx+c=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(3+2\sqrt{2}\right)^2+b\left(3+2\sqrt{2}\right)+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(17a+3b+c\right)+2\left(6a+b\right)\sqrt{2}=0\)

Nếu \(6a+b\ne0\Rightarrow\sqrt{2}=-\frac{17a+3b+c}{2\left(6a+b\right)}\inℚ\) (vô lý)

\(\Rightarrow17a+3b+c=6a+b=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-6a\\c=a\end{cases}}\)

Thay b và c vào pt đã cho ta được: \(\left(x^2-6x+1\right)\left(x^2-6x+1\right)=0\)

pt này có hai nghiệm là: \(\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{2}\\x=3-2\sqrt{2}\end{cases}}\)

\(1+\sqrt{2}\) kia là cái j nhỉ

làm đi

tôi cũng là roronoa zoro đây

Ta có: \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=4-\sqrt{15}\)

Vì \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+1=0\)nên:

\(a\left(4-\sqrt{15}\right)^2+b\left(4-\sqrt{15}\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(31-8\sqrt{15}\right)+4b-\sqrt{15}b+1=0\)

\(\Leftrightarrow31a-8\sqrt{15}a+4b-\sqrt{15}b+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)=31a+4b+1\)

Do a b, là các số hữu tỉ nên \(31a+4b+1\)và \(8a+b\) là các số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)\)là số hữu tỉ

Do đó \(\hept{\begin{cases}8a+b=0\\31a+4b+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-8\end{cases}}\)

Vậy a = 1; b = -8

Theo đầu bài có \(x_1\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\)nên có

\(ax_1^2+bx_1+c=0\)

chia hai vế cho \(x_1^2\ne0\)ta được \(a+b\frac{1}{x_1}+c\frac{1}{x_1^2}=0\)

ta có \(c.\left(\frac{1}{x_1}\right)^2+b\left(\frac{1}{x_1}\right)+a=0\)

suy ra \(\frac{1}{x_1}\)là nghiệm của của phương trình \(cx^2+bx+a=0\)

Ta chọn \(x_2=\frac{1}{x_1}>0.\)vậy \(x_1x_2=1\)

áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 hai số dương ta có :

\(x_1+x_2+x_1x_2=x_1+\frac{1}{x_1}+1\ge2\sqrt{x_1.\frac{1}{x_1}}+1=3\left(dpcm\right)\)