Từ giả thiết ta có :

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

ta có : \(Q=\frac{y+2}{x^2}+\frac{z+2}{y^2}+\frac{x+2}{z^2}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)+\left(y+1\right)}{x^2}+\frac{\left(y+1\right)+\left(z+1\right)}{y^2}+\frac{\left(z+1\right)+\left(x+1\right)}{z^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y+1\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(z+1\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\ge\frac{2\left(x+1\right)}{zx}+\frac{2\left(y+1\right)}{xy}+\frac{2\left(z+1\right)}{yz}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2\)

Áp dụng bđt \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\sqrt{3}\)

Do đó : \(Q\ge\sqrt{3}+2\). Dấu " = " xảy ra 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\z+y+z=xyz\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}}\)

Vậy Min \(Q=\sqrt{3}+2\)khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)

Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)

\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)

\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)

Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1

t lắm tắt luôn nhé có nhiều  câu quá 

áp dụng bdt cô si ta có

a)  \(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1.xyz}{xyz}}=4\)

vậy Min của T là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1

b)  

áp dụng BDT cosi ta có

\(x+y+Z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\frac{3}{xyz}+3xyz\ge2\sqrt{\frac{3.3xyz}{xyz}}=6\)

+ vế với vế ta được

\(T+3xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}+6\)

\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3xyz\)

có  \(xyz\le\frac{\left(x+y+Z\right)^2}{27}\Rightarrow-xyz\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{27}\) cùng dấu > thay vào được

\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)

Có \(x^2+1\ge2x\)

       \(y^2+1\ge2y\)

      \(z^2+1\ge2z\)  (cosy)

+ vế với vế ta được

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(3\ge\left(x+y+z\right)\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-3\) cùng dấu > ta thay được 

\(\Rightarrow T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(3\right)^3}{27}\)

\(\Rightarrow T\ge6\) dấu = xảy ra khi x=y=z=1

3) dự đoán của chúa pain x=y=z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

thử thay vào

\(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}^3}}\)

số xấu lắm m tự làm đi tương tự câu 1) 2) 

1)  dự đoán của chúa Pain x=y=z=1 

áp dụng BDT cô si ta có

\(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{xyz}{xyz}}=4.\)

Vậy Min là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1

2  chia cả tử cả mẫu cho  \(x^2+y^2+z^2=3\) ta được

\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{xyz}\)

thay số ta được

\(\left(x+y+z+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\right)\)

áp dụng Cô si ta được

\(VT\ge6\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2x^2}}=6\)

vậy Min là 6 dấu = xảy ra khi x=y=z=1

3) TƯỢNG TỰ cậu 2

chia xyz cho 2 vế 

\(x^2+y^2+z^2=1\)

ta được

\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}\)

thay số

\(\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta được

\(\left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{y}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\ge....\)

tự làm

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\)  ( 1 )

Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\)                                       ( 2 )

                \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)                                          ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)

\(\Rightarrow P+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)hay \(P+2=2\cdot\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\).Mặt khác \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)

Do đó \(P+2\ge2\cdot\frac{3}{2}=3\Rightarrow P\ge1\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{xy+xz}=\frac{y}{yx+yz}=\frac{z}{zx+zy}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y+z}=\frac{1}{x+z}=\frac{1}{x+y}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}=y\)

\(\frac{z^2}{y+x}+\frac{y+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{y+x}.\frac{y+x}{4}}=z\)

Cộng các vế của các bđt trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu"="Xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Áp dụng Svac - xơ:

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{2^2}{2.2}=1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\))

BĐT cộng mẫu số

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z= 2/3