\(S=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)

\(S\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{2y}}+\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^3+1+1\geq 3x$

$y^3+1+1\geq 3y$

$z^3+1+1\geq 3z$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq 3.3=9$

$\Rightarrow A=x^3+y^3+z^3\geq 3$ 

Vậy $A_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$

\(A=\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-6\)

\(A\ge3\sqrt[3]{x^3}+3\sqrt[3]{y^3}+3\sqrt[3]{z^3}-6=3\left(x+y+z\right)-6\ge3.3-6=3\)

\(A_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

Đặt  \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)  

\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\)  (do  \(x+2y=3\)  )

nên  \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\)  , ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Do đó,  \(3A\ge2.2+5=9\)

Hay nói cách khác,  \(A\ge3\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Vậy,  \(A_{min}=3\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .

dự đoán điểm rơi  x = y = 1 

                       Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)

                                \(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)

cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 ) 

                                                                  => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1 

Ta có : \(S=x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)

\(=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\right)\)

\(=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y\cdot\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}\cdot3\)( áp dụng bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 3 )

\(=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1 , y = 2

Vậy MinS = 9/2, đạt được khi x = 1 , y = 2

Ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}}\Rightarrow\sqrt{\frac{2}{xy}}\le1\Rightarrow xy\ge2\)

\(5x^2+y-4xy+y^2=\left(2x-y\right)^2+x^2+y\)

\(\ge x^2+y=x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\)\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xy\right)^2}{4}}\ge3\)(Đpcm0

Dấu = khi x=1;y=2

bạn ghi đúng đề ko v ?

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2}{xy}}\le1\Leftrightarrow xy\ge2\)

\(5x^2+y-4xy+y^2=\left(2x-y\right)^2+x^2+y\ge x^2+y\)

\(=x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{x^2.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy\right)^2}{4}}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{4}}=3.1=3\)

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\)

\(\frac{2}{y}+2y=2\left(\frac{1}{y}+y\right)\ge2.2\sqrt{\frac{1}{y}.y}=4\)

Cộng vế với vế ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+x+2y\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)

:))