+) n là số nguyên tố > 5

=> n có dạng 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4 

Có: ( 5k + 1)^4 và 1^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

       ( 5k + 2 )^4 và 2^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

       ( 5k + 3 )^4 và 3^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

      ( 5k + 4 )^4 và 4^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

mà 1^4 - 1; 2^4-1; 3^4-1 ; 4^4 - 1 chia hết cho 5 

=> n^4 - 1 chia hết cho 5 với n là số nguyên tố lớn hơn 5  (1)

+) n^4 - 1 = ( n^2 - 1 ) ( n^2 + 1 ) = ( n - 1 ) ( n + 1 ) (n^2 + 1 ) 

n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n  là số lẻ =>  ( n - 1) ( n + 1 ) chia hết cho 8 ; n^2 + 1 chia hết cho 2 

=> n^4 - 1 chia hết cho 16  (2) 

+) n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n có dạng 6k + 1; 6k + 5

Nếu n = 6k + 1 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) = 6k ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3

Nếu n = 6k + 5 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( 6k + 6 ) ( n^2 + 1 ) = 6 ( n - 1 ) ( k + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3 

Vậy n^4 - 1 chia hết cho 3 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (3) 

Từ (1); (2); (3) và 5; 16; 3 đôi 1 nguyên tố cùng nhau

=> n^4 - 1 chia hết cho tích 5.16.3

=> n^4 - 1 chia hết cho 240

1.Ta có

   n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n²

             = (n² + 2 )² – (2n)²

            = (n² + 2 – 2n )(n² + 2 + 2n)

Vì n⁴ + 4 là số nguyên tố nên  n² + 2 – 2n = 1 hoặc  n² + 2 + 2n = 1

Mà   n² + 2 + 2n > 1 vậy  n² + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1

Thử lại : n = 1 thì 1⁴ + 4 = 5 là số nguyên tố

Vậy với n = 1 thì  n⁴ + 4  là số nguyên tố./

2.Ta có :

n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1 = n²(n²⁰⁰¹ – 1) + n(n²⁰⁰¹ – 1) + n² + n + 1

Với n > 1 ta có :

Do đó  

 Mà n² + n + 1 > 1 nên  n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1  là hợp số

Với n = 1 ta có

       n²⁰⁰³ + n²⁰⁰² + 1 = 1²⁰⁰³ + 1²⁰⁰² + 1 = 3 là số nguyên tố .

1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

Với n = 1 thì n(n+1) = 2 là số nguyên tố, với n ≥2 thì n(n+1) là hợp số.

Với n = 1 thì  3 n 5 = 3 là số nguyên tố, với n ≥2 thì  3 n 5 là hợp số.

Với n = 1 thì  n 4 + 4 = 5 là số nguyên tố, với n ≥2 thì  n 4 + 4 là hợp số

\(2,\\ n=0\Leftrightarrow A=1\left(loại\right)\\ n=1\Leftrightarrow A=3\left(nhận\right)\\ n>1\Leftrightarrow A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\\ \Leftrightarrow A=n^2\left[\left(n^3\right)^{670}-1\right]+n\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

Ta có \(\left(n^3\right)^{670}-1⋮\left(n^3-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮\left(n^2+n+1\right)\)

Tương tự \(\left(n^3\right)^{667}⋮\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow A⋮\left(n^2+n+1\right);A>1\)

Vậy A là hợp số với \(n>1\)

Vậy \(n=1\)

\(3,\)

Đặt \(A=n^4+n^3+1\)

\(n=1\Leftrightarrow A=3\left(loại\right)\\ n\ge2\Leftrightarrow\left(2n^2+n-1\right)^2\le4A\le\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4A=\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4n^2+4n^3+4=4n^2+4n^3+n^2\\ \Leftrightarrow n^2=4\Leftrightarrow n=2\)

Vậy \(n=2\)

Ta có: p⁴-1=(p²)²-1=(p²-1).(p²+1)=(p-1).(p+1).(p²+1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5

=>p lẻ

=>p-1 và p+2 là 2 số chẵn liên tiếp

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8

Vì p lẻ=>p² lẻ=>p²+1 chẵn=>p²+1 chia hết cho 2

=>(p-1).(p+1).(p²+1) chia hết cho 16

=>p⁴-1 chia hết cho 16(1)

Lại có: p là số nguyên tố lớn hơn 5

=>p không chia hết cho 3

=>p⁴ chia 3 dư 1

=>p²-1 chia hết cho 3(2)

Mặt khác: p là số nguyên tố lớn hơn 5

=>p có 4 dạng 5k+1,5k+1,5k+3,5k+4

-Với p=5k+1=>p-1 chia hết cho 5=>(p-1).(p+1).(p²)-1 chia hết cho 5

=>p⁴-1 chia hết cho 5

-Với p=5k+2=>p²+1=(5k+2)²-1=(5k)²+2.2.5k+2²+1=5.5.k²+5.4.k+5 chia hết cho 5

=>(p-1).(p+1).(p²)-1 chia hết cho 5

=>p⁴-1 chia hết cho 5

-Với p=5k+3=>p²-1=(5k+3)²-1=(5k)²+2.3.5k+3²+1=5.5.k²+5.6.k+10 chia hết cho 5

=>(p-1).(p+1).(p²)-1 chia hết cho 5

=>p⁴-1 chia hết cho 5

-Với p=5k+4=>p+1 chia hết cho 5=>(p-1).(p+1).(p²)-1 chia hết cho 5

=>p⁴-1 chia hết cho 5

                =>p⁴-1 chia hết cho 5(3)

Tư (1),(2) và (3) ta thấy:

p⁴-1 chia hết cho 16,3,5

mà (16,3,5)=1

=>p⁴-1 chia hết cho 16.3.5

=>p⁴-1 chia hết cho 240

=>ĐPCM

1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 $\ge$ 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố