Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
hung
Xem chi tiết
Dương Thiên Tuệ
Xem chi tiết
Harry James Potter
Xem chi tiết
tiểu an Phạm
Xem chi tiết
lý canh hy
Xem chi tiết
Đen đủi mất cái nik
2 tháng 10 2018 lúc 19:35

Đặt: \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)

Ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a-\frac{ab^2-1}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2-1}{2b}=a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}+\frac{1}{2c},\frac{c+1}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}+\frac{1}{2a}\)

\(\Rightarrow P\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\right)\)

\(=3-\frac{9}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{3}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Đen đủi mất cái nik
2 tháng 10 2018 lúc 20:08

mấy dạng kiểu này bạn cứ dùng cô-si ngược là ra

Lại Anh Nhật
9 tháng 3 2021 lúc 19:25
Khó quá đi ????????????????????????
Khách vãng lai đã xóa
dekhisuki
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
30 tháng 5 2020 lúc 14:35

đây nha

Khách vãng lai đã xóa
dekhisuki
2 tháng 7 2020 lúc 22:11

đâu bạn

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thị NGọc Ánh
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
14 tháng 11 2019 lúc 19:30

Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

Ta có:

\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)

\(=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT phụ \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
zZz Cool Kid_new zZz
14 tháng 11 2019 lúc 19:32

Nhầm dòng thứ 3 dưới lên ạ:(

\(\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{y}{xyz\left(x+y+z\right)}\) mới đúng nha !

Khách vãng lai đã xóa
dekhisuki
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
6 tháng 7 2020 lúc 19:26

\(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)-\left(\frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\frac{ca}{1+ca}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)+\left(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\right)\ge3\)

Đến đây chia làm 2 bài toán :D

\(\frac{a}{1+ab}=a-\frac{a^2b}{1+ab}\ge a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{a^3b}}{2}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\)

\(\ge a+b+c-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{9}{3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)

Cộng 2 cái lại có ngay đpcm

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Tùng Chi
Xem chi tiết
Phước Nguyễn
14 tháng 3 2016 lúc 17:39

Sử dụng bất đẳng thức  \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)  với ba số  \(a,b,c\)  và ba số  dương \(x,y,z\)  bất kỳ với chú ý rằng  \(a^2b^2c^2=1\), ta có:

 \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)  \(\left(1\right)\)

Đặt  \(x=ab;\)  \(y=bc;\)  và  \(z=ca\)  thì  \(xyz=1\)  \(\left(2\right)\) với  \(x;\)\(y;\) và  \(z\)  \(>0\)  

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số nguyên dương \(x;\)\(y;\) và  \(z\), ta được:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x+y+z\ge3\)  (do  \(\left(2\right)\)), tức  \(ab+bc+ca\ge3\)  \(\left(3\right)\)

Từ  \(\left(1\right);\)  \(\left(3\right)\) ta suy ra   \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)  \(\left(đpcm\right)\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)

khong can biet
14 tháng 3 2016 lúc 11:11

thông điệp nhỏ :

hãy tích nếu như ko muốn tích 

ai tích mình tích lại nh nha 

Len Kagamine
14 tháng 3 2016 lúc 11:13

chịu thôi vì mình mới học lớp 5