Nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn sinA=cosB+cosC thì tam giác ABC là tam giác gì?
Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn : \(cos2A+2\sqrt{2}\left(cosB+cosC\right)=3\)
Tính các góc của tam giác ABC
Ta có : \(cos2A+2\sqrt{2}\left(cosB+cosC\right)=3\)
\(\Leftrightarrow1-2sin^2A+2\sqrt{2}.2.cos\left(\dfrac{B+C}{2}\right).cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)=3\)
\(\Leftrightarrow2sin^2A-4\sqrt{2}.sin\dfrac{A}{2}.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+2=0\)
\(\Leftrightarrow sin^2A-2\sqrt{2}.sin\dfrac{A}{2}.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+1=0\)
\(\Delta\) ABC không tù nên \(cos\dfrac{A}{2}\ge cos45^o=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Suy ra : VT \(\ge sin^2A-4.cos\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{A}{2}.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+1=K\)
Thấy : \(K=sin^2A-2.sinA.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)^2+1-cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)^2\)
\(=\left(sinA-cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\right)^2+sin^2\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\ge0\)
Suy ra : \(VT\ge K\ge0=VP\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinA=cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\\sin\left(\dfrac{B-C}{2}\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinA=cos0^o=1\\B=C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{\pi}{2}\\B=C=\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\) ( do \(A+B+C=\pi\) )
Vậy ...
Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn: \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC+cosA}\)CM tam giác ABC đều
Giả thiết của dề bài chưa đúng, mình sửa lại thành \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC.cosA}\)
Đặt \(a=\sqrt{cosA},b=\sqrt{cosB},c=\sqrt{cosC}\)
Suy từ giả thiết :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Vậy ta có \(\sqrt{cosA}=\sqrt{cosB}=\sqrt{cosC}\Rightarrow\hept{\begin{cases}cosA=cosB=cosC\\\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều.
Tìm tính chất của tam giác ABC thỏa:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC
TL:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC => Tam giác ABC Vuông tại A
Vế trái = sinA + sinB + sinC
= 2sin(A + B)/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2[cos(A - B)/2 + sinC/2]
=2.cosC/2.[cos(A - B)/2 + cos(A + B)/2]
= 4.cosC/2.cosB/2.cosA/2
Vế phải = 1 - cosA + cosB + cosC
= 2sin²A/2 + 2cos(B + C)/2.cos(B - C)/2
= 2.sinA/2[sinA/2 + cos(B - C)/2] (vì cos(B + C)/2 = sinA/2)
= 2.sinA/2[cos(B + C)/2 + cos(B - C)/2
= 4.sinA/2.cosB/2.cosC/2
Vậy sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC
<=> cosA/2.cosB/2.cosC/2 = sinA/2.cosB/2.cosC/2
<=> cosB/2.cosC/2(sinA/2 - cosA/2) = 0
mà cosB/2 ≠ 0 và cosC/2 ≠ 0
=> sinA/2 = cosA/2
<=> A/2 = 45o
<=> A = 90o
tam giác ABC vuông tại A
Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh:sinB*cosC+cosB*sinC=SinA
AB/sinC = BC/sinA = CA/sinB cái này là định lý hàm số sin nè: chứng minh một cạnh của tam giác bằng đường kính nhân sin góc đối là ra
cosA + cosB + cosC > (sinA + sinB + sinC)/2: kẻ 3 đg` cao AD BE CF cắt nhau tại H
=> cosB=cosAHF=HF/AH, cosC=cosAHE=HE/AH
EF=AH.sinA => sinA = EF/AH
EF<HF + HE(bđt tam giác)
=> sinA < cosB + cosC
chứng minh tương tự => đpcm
cho tam giác abc có 3 góc nhọn. Vẽ đường cáo AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) \(0< cos^2A+cos^2B+cos^2C< 1\)
b)\(2< sin^2A+sin^2B+sin^2C< 3\)
c)sinA + sinB + sinC < 2( cosA + cosB + cosC)
d)sinB . cosC + sinC . cosB = sinA
e)tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a, a = b cosC + c cosB;
b, sinA = sinBcosC + sinCcosB;
c, ha = 2RsinBsinC.
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ta có:
b) Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:
A + B + C = 180º
⇒ sin A = sin [180º – (B – C)]= sin (B + C) = sinB.cos C + cosB. sinC (đpcm)
c) Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
SinA+SinB+SinC > 2.Với A,B,C là ba góc nhọn trong tam giác.
CosA+CosB+CosC <= 2/3.Với A,B,C là ba góc nhọn trong tam giác.
CotA+CotB+CotC <= căn bậc hai của 3.Với A,B,C là ba góc nhọn trong tam giác.
.Giúp mình với. Cmr trong tam giác ABC ta có:
a, sinA + sinB +sinC = 4cosA/2.cosB/2.cosC/2
b, tanA +tanB + tanC= tanA.tanB.tanC
a)\(VT=sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)=4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}\)(đpcm)
b)Ta có:\(A+B+C=180^O\)
\(\Rightarrow tan\left(A+B\right)=tan\left(-C\right)=-tanC\)
\(\Leftrightarrow\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}=-tanC\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\left(đpcm\right)\)
Cho tam giác ABC có sinA+sinB= cosA+cosB. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
1) ta co ket qua nhu sau:
sinAcosA+cosAcosB = sinAsinB+sinAcosA
<=> cosAcosB-sinAsinB=0
<=>cos(A+B)=0
<=> -cosC=0 (vi A+B+C=180)
hay cosC=0 => C=90