mình bieetslaf đúng nhưng cac pạn chỉ cho mình cách làm đc ko?mai mình phải nộp bài rồi

Ta có : \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{7}\Rightarrow\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{7}\Rightarrow7m+7n=mn\)

=> 7m + 7n - mn = 0

=> m(7 - n)  + 7n - 49 = -49

=> m(7 - n)  -7(7 - n) = - 49

=> (m - 7)(7 - n) = - 49

Ta có -49 = (-7).7 = (-1).49 = (-49).1

Lập bảng xét các trường hợp

Vậy các cặp (m;n) nguyên dươn thỏa mẫn là : (56;8) ; (8 ; 56) ; (14 ; 14) 

Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

* Với \(m\le2\)thì từ (1) suy ra \(n^3-5n+10=2^m\le2^2\Rightarrow n^3-5n+6\le0\)(2)

Mặt khác do \(n\inℕ^∗\)nên \(n^3-5n+6>0,\)điều này mâu thuẫn với (2). Vậy \(m>2\).

* Với  \(m=3\)thì thay vào (1) ta có: \(n^3-5n+10=2^3\Leftrightarrow\left(n^3-2n^2\right)+\left(2n^2-4n\right)-\left(n+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n^2+2n-1\right)=0\)

Do \(n\inℕ^∗\)nên \(n^2-2n-1>0,\)suy ra \(n-2=0\Leftrightarrow n=2\)

* Với  \(m\ge4\)thì biến đổi (1) thành \(\left(n-2\right)\left(n^2+2n-1\right)=8\left(2^{m-3}-1\right)\)(3)

Nhận thấy: \(\left(n^2+2n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)là số lẻ và \(n\inℕ^∗\),

nên hai số \(n^2+2n-1\)và \(n-2\)là hai số tự nhiên khác tính chẵn lẻ. Do đó từ (3) xảy ra 2 khả năng

a)\(\hept{\begin{cases}n-2=8\\n^2+2n-1=2^{m-3}-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}n=10\\2^{m-3}=120\end{cases}}\)

Vì  \(2^{m-3}\)là số tự nhiên có số tận cùng khác 0 nên \(2^{m-3}\ne120\). Do vậy trường hợp này không xảy ra.

b)\(\hept{\begin{cases}n-2=2^{m-3}-1\\n^2+2n-1=8\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2^{m-3}=n-1\\n^2+2n-9=0\end{cases}}\)

Do phương trình \(n^2+2n-9=0\)không có nghiệm tự nhiên nên trường hợp này cũng không xảy ra. 

Vậy có một cặp số nguyên dương duy nhất thỏa mãn là \(\left(m;n\right)=\left(3;2\right).\)

Cách khác : còn có thể xét các trường hợp của \(n\left(n=1;n\ge2\right)\)trước sau đó mới xét \(m\).

Làm thử theo cách cổ truyền vậy -.-

Ta có : \(n^2+n+1=\left(m^2+m-3\right)\left(m^2-m+5\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1=m^4+m^2+8m-15\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+16-m^4-m^2-8m=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn n

Ta có : \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63\)

Pt có nghiệm nguyên khi \(\Delta\)là 1 số chính phương

Ta có \(\Delta=4m^4+4m^2+32m-63=\left(2m^2+2\right)^2-4\left(m-4\right)^2-3< \left(2m^2+2\right)^2\)

Giả sử m > 2 thì\(\Delta=\left(2m^2+1\right)^2+32\left(m-2\right)>\left(2m^2+1\right)^2\forall m>2\)

Khi đó  \(\left(2m^2+1\right)^2< \Delta< \left(2m^2+2\right)^2\)

Như vậy \(\Delta\)không phải số chính phương (Vì giữa 2 số chính phương liên tiếp ko còn scp nào nữa)

Nên điều giả sử là sai .

Tức là\(m\le2\)

Mà \(m\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow m\in\left\{1;2\right\}\)

*Với m = 1 thì pt ban đầu trở thành

\(n^2+n+1=\left(1+1-3\right)\left(1-1+5\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1=-5\)

\(\Leftrightarrow\left(n+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{23}{4}\)

Pt vô nghiệm

*Với m = 2 thì pt ban đầu trở thành

\(n^2+n+1=\left(2^2+2-3\right)\left(2^2-2+5\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1=21\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-4\right)\left(n+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow n=4\left(Do\text{ }n\inℕ^∗\right)\)

Vậy pt ban đầu có nghiệm nguyên dương duy nhất (m;n) = (2;4)

Giúp : Cho \(\Delta\)ABC nhọn nội tiếp (O) , D là điểm trên cung BC không chứa A . Dựng hình bình hành ADCE . Gọi H , K là trực tâm của tam giác ABC ,  ACE ; P , Q là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC , AB và I là giao EK , AC

CMR: a,P ; I ; Q thẳng hàng

          b, đường thẳng PQ đi qua trung điểm HK