Áp dụng bđt Holder ta được:

\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)=3.3.\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3=1\Rightarrow A\ge\frac{1}{9}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

c/m bất đẳng thức Holder:

Cho a,b,c,x,y,z,m,n,p là các số thực dương. Khi đó ta có:

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) ta có:

\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3axm}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)

Tương tự:

\(\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3byn}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)

\(\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3czp}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)

\(\Rightarrow3\ge\frac{3axm+3byn+3czp}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}\ge axm+byn+czp\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)

Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau

Ta có  \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}\le1\Leftrightarrow abc\le1\)(bđt AM-GM)

Khi đó \(P=2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1\)

\(=2\left(\frac{abc}{c}+\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}\right)-1=2\left[abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]-1\)

\(=2abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-1=2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}-1=\frac{2.9}{3}-1=5\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy GTNN của \(P=5\)đạt được khi \(a=b=c=1\)

p/s : nói chung hướng làm là vậy thôi :v chứ minh làm sai chỗ nào rồi ý 

Áp dụng cô si ,ta có

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(c^2+b^2\ge2bc\)

\(a^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3ab+3ac+3bc\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow200^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow\frac{40000}{3}\ge ab+bc+ac\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=200/3

Câu hỏi của Trần Thị Thùy Linh 2004 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

EM tham khảo nhé!

Thank you chụy

Tham khảo bài cô làm nhé! Bài của bạn làm một số chỗ chưa đúng!

bạn kiểm tra lại xem có sai đề không

Từ giả thiết:

\(a^2=2\left(b^2+c^2\right)\ge\left(b+c\right)^2\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\ge1\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}\ge1\)

\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+2bc}\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2}\)

\(P\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2}}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b+c}=x\ge1\)

\(\Rightarrow P\ge x+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4}{9}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{5}{9}x-\dfrac{2}{9}\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{4}{9}\left(x+\dfrac{1}{2}\right).\dfrac{1}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}}+\dfrac{5}{9}.1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{3}\)

\(P_{min}=\dfrac{5}{3}\) khi \(x=1\) hay \(a=2b=2c\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta được :

\(a+b\ge2\sqrt[2]{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt[2]{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt[2]{ca}\)

Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(2\sqrt[2]{ab}\right)\left(2\sqrt[2]{bc}\right)\left(2\sqrt[2]{ca}\right)\)

\(< =>B\ge8\sqrt[2]{a^3b^3c^3}=8abc\)

Mặt khác theo giả thiết ta có : \(abc=8\)

Khi đó \(B\ge8.8=64\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\)

Vậy \(Min_B=64\)khi \(a=b=c=2\)

sửa lại cho mình  dòng 7 trong căn là mũ 2 nhé , đánh lộn