Gọi d=ƯCLN(n²+n-1 ; n²+n+1)

=> \(n^2+n-1⋮d\)

\(n^2+n+1⋮d\)

=> \(\left(n^2+n+1\right)-\left(n^2+n-1\right)⋮d\)

=> \(2⋮d\)

Ta có n²+n+1=n(n+1)+1. Mà n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên là số chẵn =>n²+n+1 là số lẻ

=> \(d\ne2\)

=> d=1

Vì ƯCLN ( n²+n-1 ; n²+n+1)=1 nên phân số đã cho tối giản

Gọi d=ƯCLN(n²+n-1 ; n²+n+1)

=> n^2+n-1⋮d

n^2+n+1⋮d

=> (n2+n+1)−(n2+n−1)⋮d

=> 2⋮d

Ta có n²+n+1=n(n+1)+1. Mà n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên là số chẵn =>n²+n+1 là số lẻ

=> d khác 2

=> d=1

Vì ƯCLN ( n²+n-1 ; n²+n+1)=1 nên phân số đã cho tối giản

Ta có: \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}=\frac{5n+2}{6n^2+5n+1}\)

Giả sử d là ước chung lớn nhất của \(\left(5n+2\right);\left(6n^2+5n+1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6.\left(5n+2\right)^2⋮d\\25.\left(6n^2+5n+1\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow25\left(6n^2+5n+1\right)-6\left(5n+2\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow5n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(5n+2\right)-\left(5n+1\right)=1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản

Gọi d = (5n + 3 ; 3n + 2) (d thuộc N) 
=> (5n + 3) chia hết cho d và (3n + 2) chia hết cho d 
=> 5.(3n + 2) - 3.(5n + 3) chia hết cho d 
=> 1 chia hết cho d 
=> d = 1 (vì d thuộc N) 
=> ƯCLN(5n + 3 ; 3n + 2) = 1 
=> Phân số 5n+3/3n+2 tối giản với mọi n thuộc N

dcmm may

ta có n⁴+3n²+1=(n³+2n)n+n²+1

n³+2n=(n²+1)n+n

n²+1=n.n+1

n=1.n

vậy ucln(n⁴+3n²+1, n³+2n)=1(đpcm)

Gọi d = ƯCLN ( n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1 )

=> n³ + 2n \(⋮\)d  ( 1 ) và n⁴ + 3n² + 1 \(⋮\)d ( 2 )

Từ ( 1 ) => n . ( n³ + 2n ) \(⋮\)d => n⁴ + 2n² \(⋮\)d ( 3 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => ( n⁴ + 3n² + 1 ) - ( n⁴ + 2n² ) \(⋮\)d

=> n⁴ + 3n² + 1 - n⁴ - 2n² \(⋮\)d

=> ( n⁴ - n⁴ ) + ( 3n² - 2n² ) + 1 \(⋮\)d

=> n² + 1 \(⋮\)d ( * )

=> n² . ( n² + 1 ) \(⋮\)d

=> n⁴ + n² \(⋮\)d ( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) => ( n⁴ + 2n² ) - ( n⁴ + 2n ) \(⋮\)d

=> n² \(⋮\)d ( 5 )

Từ ( * ) và ( 5 ) => ( n² + 1 ) - n² \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> d = 1

Vậy : phân số đã cho tối giản

hahaa

Gọi d là UCLN(2n+1;5n+2),ta có:

=>[5(2n+1)]-[2(5n+2)] chia hết d

=>1 chia hết cho d

<=>d=1

=> phân số trên tối giản

Gọi d là ước chung của 2n + 1 và 5n + 2

Ta có: 2n + 1 chia hết cho d => 5.(2n + 1) chia hết cho d => 10n + 5 chia hết cho d

          5n + 2 chia hết cho d => 2.(5n + 2) chia hết cho d => 10n + 4 chia hết cho d

=> (10n + 5) - (10n + 4) chia hết cho d

=> 10n + 5 - 10n - 4 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy \(\frac{2n+1}{5n+2}\)là một phân số tối giản, với n \(\in\) N

Gọi a là UCLN( 2n+1,5n+2)

ta có 2n+1 chia hết cho a=> 5(2n+1) chia hết cho a hay 10n + 5 chia hết a

5n+2 chia hết cho a=> 2(5n+2) chia hết cho a hay 10n + 4 chia hết a

10n + 5 chia hết a 

10n + 4 chia hết a=>

(10n + 5 ) -( 10n + 4 ) chia hết a hay 1chia hết a=> a=1

Vậy ps đó là 1 ps tối giản với n thuộc N

k nha

Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d => n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d. =>n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d. do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết chod hay n^2 +1 chia hết cho d (1). => (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d. => (n^4+3n^2+1) ...

Bài 1 : 

Ta có : 

\(\frac{3n-5}{3-2n}=\frac{3n-5}{-\left(2n-3\right)}\)

Gọi \(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=d\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}3n-5⋮d\\-\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(3n-5\right)⋮d\\-3\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n-10⋮d\\-6n+9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(6n-10\right)+\left(-6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(6n-6n\right)\left(-10+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(1\right)\)

Mà \(Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Vậy \(\frac{3n-5}{3-2n}\) là phân số tối giản với mọi số nguyên n 

Chúc bạn học tốt ~