Ta có : 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁹⁹ + 5^{100 =} ( 5+5² ) + ( 5³ + 5⁴ ) + (5⁹⁹ + 5¹⁰⁰ ) = 5(1+5) + 5³ ( 1+5) + 5⁹⁹(1+5 )= 6(5+5³+ 5⁹⁹) chia hết cho 6 ( đpcm)

1/2 x 2/3 x 3/4 x 5/6 x ... x 99/100

=1x2x3x4x5x ... x99/2x3x4x5x6x ... x100

=1/100

vì 1/100 < 1/15\(\Rightarrow\)1/2 x 2/3 x 3/4 x 5/6 x ... x 99/100<1/15

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Ta có A =1/1.2+1/3.4+1/5.6+...+1/99.100

=(1/1.2+1/3.4)+(1/5.6+...+1/99.100)

=7/12+(1/5.6+...+1/99.100)>7/12(1)

A=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...+1/99-1/100

=(1+1/3+1/5+...+1/99)-(1/2+1/4+..+1/100)

=(1+1/2+1/3+1/4+..+1/99+1/100)-2(1/2+1/4+....+1/100)    ( Cộng thêm cả 2 vế với 1/2+1/4+..+1/100)

=(1+1/2+1/3+..+1/100)-(1+1/2+..+1/50)

=1/51+1/52+..+1/100

Dãy số trên có 50 số hang 50 chia hết cho 10 nên ta nhóm 10 số vào 1 nhóm

A=(1/51+1/52+..+1/60)+(1/61+1/62+..+1/70)+(1/71+1/72+..+1/80)+(1/81+..+1/90)+(1/91+..+1/100)

<1/50.10+1/60.10+1/70.10+1/80.10+1/90.10=1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<1/5+1/6+1/7.3=167/210<175/210=5/6

=>A<5/6(2)

từ 1 và 2 => đpcm

a>

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000

ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )

1/100^2<1/2

=>A<1