Tổng 3 số là 1 số chẵn nên 1 trong 3 số phải có 1 số chẵn nguyên tố (là 2)
Vì 4n-5 lẻ nên 3n-4=2 hoặc 5n-3=2
Giải ra ta được n=2 

\(\text{Nếu n = 1 thì 3n - 4 = -1 (loại)}\)

Nếu n = 2 thì:

\(\hept{\begin{cases}3n-4=2.3-4=2\\4n-5=2.4-5=3\\5n-3=2.5-3=7\end{cases}}\)

    Các số trên đều là số nguyên tố nên n = 2 thỏa mãn

Nếu n > 2 thì 3n - 4 ; 4n - 5 ; 5n - 3 đều lớn hơn 2

   Ta có:

       Với n=2k thì  3n - 4 = 6k - 4 \(⋮\) 2 nên không là số nguyên tố

       Với n = 2k + 1 thì 5n - 3 = 5 (2k+1) - 3 = 10k + 2  \(⋮\)2 nên không là số nguyên tố

Do đó không có số tự nhiên n > 2 nào thảo mãn

Vậy n=2  

Xét n lẻ và n>1 thì 5n-3 chẵn và >2=> vô lý
n=1 loại
n chẵn và n>2 thì 3n-4 là hợp số
Thử với n=2 đúng
KL:n=2.

mẤy bọn ngôn lù này sao ngu thế nhỉ 

Đặt \(A=n^4-3n^3+4n^2-3n+3=\left(n^2+1\right)\left(n^2-3n+3\right)\)

Do \(n^2+1>1;\forall x\in Z^+\) nên N là số nguyên tố khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}n^2-3n+3=1\\n^2+1\text{ là số nguyên tố}\end{matrix}\right.\)

\(n^2-3n+3=1\Leftrightarrow n^2-3n+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=2\end{matrix}\right.\)

Với \(n=1\Rightarrow n^2+1=2\) là SNT (thỏa mãn)

Với \(n=2\Rightarrow n^2+1=5\) là SNT (thỏa mãn)

a, Gọi ƯCLN(5n + 3, 3n + 2) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}5n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+9⋮d\\15n+10⋮d\end{cases}}}\) 

=> 15n + 10 - (15 n + 9) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc {1;-1}

Vậy...

b, Gọi ƯCLN(4n + 3, 6n + 4) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+9⋮d\\12n+8⋮d\end{cases}}}\)

=> 12n + 9 - (12n + 8) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc {1;-1}

Vậy...

c, Gọi ƯCLN(12n + 5, 5n + 2) = d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}12n+5⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}60n+25⋮d\\60n+24⋮d\end{cases}}}\)

=> 60n + 25 - (60n + 24) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = {1;-1}

Vậy... 

Gọi d là ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2

Khi đó : 5n + 3 chia hết cho d , 3n + 2 chia hết cho d

=> 15n + 9 chia hết cho d , 15n + 10 chia hết cho d

=> 15n + 10 - 15n - 9 = 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy 5n + 3 và 3n + 2 nguyên tố cùng nhau .  

Gọi ƯCLN của 5n +3 và 3n +2 là d

Ta có:

\(5n+3⋮d\)\(\Rightarrow15n+9⋮d\)

\(3n+2⋮d\)\(\Rightarrow15n+10⋮d\)

Vây 1 \(⋮d=>d=1\)

Vậy các số trên nguyên tố cùng nhau.

\(b,4n+3;6n+4\)

Gọi ƯCLN của 4n+3 và 6n+4 là d

Ta cs: 

\(4n+3⋮d\Rightarrow12n+9⋮d\)

\(6n+4⋮d\Rightarrow12n+8⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy các số trên nguyên tố cùng nhau.

a) Gọi d = ƯCLN(2n+5; 3n+7) (d thuộc N*)

=> 2n + 5 chia hết cho d; 3n + 7 chia hết cho d

=> 3.(2n + 5) chia hết cho d; 2.(3n + 7) chia hết cho d

=> 6n + 15 chia hết cho d; 6n + 14 chia hết cho d

=> (6n + 15) - (6n + 14) chia hết cho d

=> 6n + 15 - 6n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n+5; 3n+7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Câu b lm tương tự

 Gọi d = ƯCLN(2n+5; 3n+7) (d thuộc N*)

=> 2n + 5 chia hết cho d; 3n + 7 chia hết cho d

=> 3.(2n + 5) chia hết cho d; 2.(3n + 7) chia hết cho d

=> 6n + 15 chia hết cho d; 6n + 14 chia hết cho d

=> (6n + 15) - (6n + 14) chia hết cho d

=> 6n + 15 - 6n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n+5; 3n+7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Câu b lm tương tự

 Gọi d = ƯCLN(2n+5; 3n+7) (d thuộc N*)

=> 2n + 5 chia hết cho d; 3n + 7 chia hết cho d

=> 3.(2n + 5) chia hết cho d; 2.(3n + 7) chia hết cho d

=> 6n + 15 chia hết cho d; 6n + 14 chia hết cho d

=> (6n + 15) - (6n + 14) chia hết cho d

=> 6n + 15 - 6n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n+5; 3n+7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Câu b lm tương tự

Gọi ƯCLN(3n + 1, 5n + 4) = d (d thuộc N*, d khác 1)

Ta có: 

3n + 1 chia hết cho d => 5(3n + 1) chia hết cho d => 15n + 5 chia hết cho d

5n + 4 chia hết cho d => 3(5n + 4) chia hết cho d => 15n + 12 chia hết cho d

=> (15n + 12) - (15n + 5) chia hết cho d

=> 7 chia hết cho d => d \(\in\) Ư(7) = {-1;1;-7;7}

Mà d thuộc N*

=> d \(\in\){1;7}

Mà d khác 1 

=> d = 7

vậy ƯCLN(3n + 1, 5n + 4) = 7

Gọi d là ƯCLN(3n+1,5n+4)
Ta có:3n+1 chia hết cho d=>5*(3n+1)chia hết cho d
         5n+4 chia hết cho d=>3*(5n+4)chia hết cho d
=>3*(5n+4)- 5*(3n+1) chia hết cho d
hay 15n+12-15n+5 chia hết cho d
=>7 chia hết cho d
=>d thuộc Ư(7)
=>d={1,7}
Vì 3n+1 và 5n+4 ko phải là 2 số nguyên tố cùng nhau
Vậy ƯCLN(3n+1,5n+4)=7

Gọi UCLN 3n+4 va 5n+1 là d

3n+4 chia hết cho d , 5n+1 chia hết cho d

5.(3n+4) chia hết cho d , 3.(5n+1) chia hết cho d

15n+20 chc d , 15n+3 chc d

15n + 20 - 15n + 3 chia hết cho d

17 chia hết cho d

d=17

Bn tự kl nhé