1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn \(2y+1=\sqrt{16-x^2-2x}\)
2. Tìm tất cả các đa thức P(x) với các hệ số tự nhiên thỏa mãn P(3)-P(2) là một số nguyên tố.
Em cảm ơn mọi người nhiều!
Bài 1:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) thỏa mãn: \(2^x\cdot x^2=9y^2+6y+16.\)
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: \(\left(x+1999\right)\left(x+1975\right)=3^y-81.\)
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì \(5^p-2^p\)không thể là lũy thừa lớn hơn 1 của 1 số nguyên dương.
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) thỏa mãn \(6^m+2^n+2\)là số chính phương.
Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn \(x^2+2^{y+2}=5^z.\)
MỌI NGƯỜI GIÚP MÌNH ĐƯỢC BÀI NÀO THÌ GIÚP NHÉ. CẢM ƠN NHIỀU.
Bài 1 :
Phương trình <=> 2x . x2 = ( 3y + 1 ) 2 + 15
Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)
\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)
( Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)
Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)
Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2k . 2k + 3y + 1 > 2k .2k - 3y-1>0
Vậy ta có các trường hợp:
\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)
\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)
Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 )
Bài 3:
Giả sử \(5^p-2^p=a^m\) \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)
Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)
Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)
Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có
\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\) \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)
Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)
\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)
Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)
Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý
\(\rightarrowĐPCM\)
Bài 4:
Ta đặt: \(S=6^m+2^n+2\)
TH1: n chẵn thì:
\(S=6^m+2^n+2=6^m+2\left(2^{n-1}+1\right)\)
Mà \(2^{n-1}+1⋮3\Rightarrow2\left(2^{n-1}+1\right)⋮6\Rightarrow S⋮6\)
Đồng thời S là scp
Cho nên: \(S=6^m+2\left(2^{n-1}\right)=\left(6k\right)^2\)
\(\Leftrightarrow6^m+6\left(2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1\right)=36k^2\)
Đặt: \(A\left(n\right)=2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1=2^{n-3}+...+1\)là số lẻ
Tiếp tục tương đương: \(6^{m-1}+A\left(n\right)=6k^2\)
Vì A(n) lẻ và 6k^2 là chẵn nên: \(6^{m-1}\)lẻ\(\Rightarrow m=1\)
Thế vào ban đầu: \(S=8+2^n=36k^2\)
Vì n=2x(do n chẵn) nên tiếp tục tương đương: \(8+\left(2^x\right)^2=36k^2\)
\(\Leftrightarrow8=\left(6k-2^x\right)\left(6k+2^x\right)\)
\(\Leftrightarrow2=\left(3k-2^{x-1}\right)\left(3k+2^{x-1}\right)\)
Vì \(3k+2^{x-1}>3k-2^{x-1}>0\)(lớn hơn 0 vì 2>0 và \(3k+2^{x-1}>0\))
Nên: \(\hept{\begin{cases}3k+2^{x-1}=2\\3k-2^{x-1}=1\end{cases}}\Leftrightarrow6k=3\Rightarrow k\notin Z\)(loại)
TH2: n là số lẻ
\(S=6^m+2^n+2=\left(2k\right)^2\)(do S chia hết cho 2 và S là scp)
\(\Leftrightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}+1=2k^2\)là số chẵn
\(\Rightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}\)là số lẻ
Chia tiếp thành 2TH nhỏ:
TH2/1: \(3\cdot6^{m-1}\)lẻ và \(2^{n-1}\)chẵn với n là số lẻ
Ta thu đc: m=1 và thế vào ban đầu
\(S=2^n+8=\left(2k\right)^2\)(n lớn hơn hoặc bằng 3)
\(\Leftrightarrow2^{n-2}+2=k^2\)
Vì \(k^2⋮2\Rightarrow k⋮2\Rightarrow k^2=\left(2t\right)^2\)
Tiếp tục tương đương: \(2^{n-2}+2=4t^2\)
\(\Leftrightarrow2^{n-3}+1=2t^2\)
\(\Leftrightarrow2^{n-3}\)là số lẻ nên n=3
Vậy ta nhận đc: \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)
TH2/2: \(3\cdot6^{m-1}\)là số chẵn và \(2^{n-1}\)là số lẻ
Suy ra: n=1
Thế vào trên: \(6^m+4=4k^2\)
\(\Leftrightarrow6^m=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k-2=6^q\\2k+2=6^p\end{cases}}\Rightarrow p+q=m\)
Và \(6^p-6^q=4\)
\(\Leftrightarrow6^q\left(6^{p-q}-1\right)=4\Leftrightarrow6^q\le4\Rightarrow q=1\)(do là tích 2 stn)
\(\Rightarrow k\notin Z\)
Vậy \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)
P/S: mk không kiểm lại nên có thể sai
Các bạn trình bày lời giải hoặc gợi ý nhé, mình cần gấp! Cảm ơn các bạn nhiều!
1. Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho a^2 - b, b^2 - c, c^2 - a đều là các số chính phương.
2. Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn điều kiện x^2 + y^2 + 2x(y+1) - 2y là số chính phương. CMR: x = y
3. Tìm số nguyên n thỏa mãn (n^2 - 5)(n + 2) là số chính phương
4. Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn a^2 + 3b; b^2 + 3a đều là các số chính phương
5. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab + bc + ca). CMR ab + bc + ca, ab, bc, ca đều là các số chính phương.
Tìm tất cả các số nguyên tố (x;y) thỏa mãn đẳng thức: x2 - 2y2 = 1?
Biến đổi bt tương đương : (x^2-1) / 2 = y^2
Ta có: vì x,y là số nguyên dương nên
+) x > y và x phải là số lẽ.
Từ đó đặt x = 2k + 1 (k nguyên dương);
Biểu thức tương đương 2 * k * ( k + 1 ) = y ^ 2 (*);
Để ý rằng:
Y là 1 số nguyên tố nên y^2 sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là :
{1,y, y^2} ;
từ (*) dễ thấy y^2 chia hết cho 2, dĩ nhiên y^2 không thể là 2, vậy chỉ có thể y=2 =>k=1;
=>x=3.
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2 (thoả mãn).
Biến đổi bt tương đương : (x^2-1) / 2 = y^2
Ta có: vì x,y là số nguyên dương nên
+) x > y và x phải là số lẽ.
Từ đó đặt x = 2k + 1 (k nguyên dương);
Biểu thức tương đương 2 * k * ( k + 1 ) = y ^ 2 (*);
Để ý rằng:
Y là 1 số nguyên tố nên y^2 sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là :
{1,y, y^2} ;
từ (*) dễ thấy y^2 chia hết cho 2, dĩ nhiên y^2 không thể là 2, vậy chỉ có thể y=2 =>k=1;
=>x=3.
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2 (thoả mãn).
Nhớ like cho mình nha ^^
1) Cho hai số nguyên dương x,y lớn hơn 1, x khác y thỏa mãn \(x^2+y-1⋮y^2+x-1.\). Chứng minh rằng \(y^2+x-1\)không thể là lũy thừa của 1 số nguyên tố.
2) Tồn tại không các số nguyên dương x, y sao cho \(x^5+4^y\)là lũy thừa của 11.
3)Tìm tất cả các cặp số (x,y) nguyên dương thỏa mãn \(x^3-y^3=13\left(x^2+y^2\right)\)
4)Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn \(n^5+n+1\)là lũy thừa của số nguyên tố.
5)Cho 2 số nguyên dương x,y thỏa mãn \(2x^2+11xy+12y^2\)là lũy thừa của số nguyên tố. Chứng minh rằng x=y.
6)Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho \(\frac{p+1}{2}\)và\(\frac{p^2+1}{2}\)đều là số chính phương.
7)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương p, q với p nguyên tố thỏa mãn \(p^3+p^2+6=q^2+q\)
Các bạn trình bày lời giải hoặc gợi ý nhé, mình cần gấp! Cảm ơn các bạn nhiều!
1. Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho a2 - b, b2 - c, c2 - a đều là các số chính phương.
2. Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + 2x(y+1) - 2y là số chính phương. CMR: x = y
3. Tìm số nguyên n thỏa mãn (n2- 5)(n + 2) là số chính phương
4. Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn a2 + 3b; b2 + 3a đều là các số chính phương
5. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca). CMR ab + bc + ca, ab, bc, ca đều là các số chính phương.
6. Cho các số nguyên (a -b)2 = a + 8b -16. CMR a là số chính phương.
7. Tìm các số tự nhiên m, n thỏa mãn 4m - 2m+1 = n2 + n + 6
Tìm tất cả các cặp số (x; y) với x; y là các số nguyên thỏa mãn y3 - 2 = x (x2 + 2x +3).
GIÚP MÌNH VỚI! CẢM ƠN TRƯỚC NHA!
bài này đc sài máy tính hem. cách sài máy tính lẹ hơn
nếu đc dùng máy tỉnh bỏ túi thì lập trình trong máy vinacal hoặc casio như sau:
x=x+1:y= căng bậc ba của x(x^2+2x+3)+2
hổng bik viết dấu căng bậc ba
gán cho x chạy tuef 1 thử kím cái nào y nguyên lun thì lấy, khỏi mất công phân tích hé hé:)))
1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn : x(2y+3)=y+1.
2. Tìm tất cả các số nguyên X thỏa mãn
a) (x+2) là bội của (×^2-7)
b) (-1)+3+(-5)+7+...+x=2002.
Giải giúp mình đi . Giải cụ thể nhé.
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho: 4x+5y=35
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0 (x,y) sao cho: (2x+5).(x+2)=3y
c) Tìm các số nguyên tố x,y thỏa mãn: 272x=11y+29
d) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: (10n+72n-1) chia hết cho 81
d 10^n+72^n -1
=10^n -1+72n
=(10-1) [10^(n-1)+10^(n-2)+ .....................+10+1]+72n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+..........................-9n+81n
a)cho p là số nguyên tố >2 . tìm x thộc N thỏa mãn
(x+1).(2x + 1) = 2.p
b) tìm tất cả các số nguyên tố p,q thỏa mãn p2+165=q2
c) tìm số tự nhiên x thỏa mãn x2 + x = ( - 2018)2 + 2017
làm đúng mk tick cho