1) Ta có : \(\frac{2016a+b+c+d}{a}=\frac{a+2016b+c+d}{b}=\frac{a+b+2016c+d}{c}=\frac{a+b+c+2016d}{d}\)

Trừ 4 vế với 2015 ta được : \(\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

Nếu a + b + c + d = 0

=> a + b = -(c + d)

=> b + c = (-a + d) 

=> c + d = -(a + b)

=> d + a = (-b + c)

Khi đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 4

Nếu a + b + c + d\(\ne0\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\Rightarrow a=b=c=d\)

Khi đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

2) a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left|x+2013\right|\ge0\forall x\\\left(3x-7\right)^{2004}\ge0\forall y\end{cases}\Rightarrow\left|x+2013\right|+\left(3x-7\right)^{2014}\ge0}\)

Dấu "=" xảy ra \(\hept{\begin{cases}x+2013=0\\3y-7=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2013\\y=\frac{7}{3}\end{cases}}}\)

b) 7^2x + 7^{2x + 3} = 344

=> 7^2x + 7^2x.7³ = 344

=> 7^2x.(1 + 7³) = 344

=> 7^2x  = 1

=> 7^2x = 7⁰

=> 2x = 0 => x = 0

c) Ta có :

 \(\frac{7}{2x+2}=\frac{3}{2y-4}=\frac{5}{x+4}\Leftrightarrow\frac{7}{2x+2}=\frac{3}{2y-4}=\frac{10}{2x+8}=\frac{7-10}{2x+2-2x-8}=\frac{1}{2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

=>  2x + 2 = 14 => x = 6 ; 

2y - 4 = 6 => y = 5 ; 

6 + 5 + z = 17 => z = 6 

Vậy x = 6 ; y = 5 ; z = 6

3) a) Ta có : \(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}=\frac{a+b+c-a+b-c}{a+b-c-a+b+c}=\frac{2b}{2b}=1\)(dãy ti số bằng nhau) 

=> a + b + c = a + b - c => a + b + c - a - b + c = 0 => 2c = 0 => c = 0;  

Lại có : \(\frac{a+b+c}{a+b-c}-1=\frac{a-b+c}{a-b-c}-1\Leftrightarrow\frac{2c}{a+b-c}=\frac{2c}{a-b-c}\Rightarrow a+b-c=a-b-c\) => b = 0 

Vậy c = 0 hoặc b = 0

c) Ta có : \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b+b+c+a+c}{c+a+b}=2\)(dãy tỉ số bằng nhau) 

=> \(\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\a+c=2b\end{cases}}\)

Khi đó P = \(\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)=\frac{b+c}{b}.\frac{c+a}{c}=\frac{a+b}{a}=\frac{2a.2b.2c}{abc}=8\)

Vậy P = 8

2. b) \(7^{2x}+7^{2x+3}=344\)

        \(7^{2x}\cdot\left(1+7^3\right)=344\)

        \(7^{2x}\cdot\left(1+343\right)=344\)

        \(7^{2x}\cdot344=344\)

               \(7^{2x}=1\)  

               \(7^{2x}=7^0\)

              \(2x=0\)

               \(x=0\)

a)  ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

 Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)

tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)

=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)

mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)

cộng từng vế ta có \(S\ge9\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2

câu 2 tương tự

chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin

Dùng bđt AM - GM cho 7 số; 2 số và 3 số không âm, ta được:

\(a^3c^2+a^3c^2+a^3c^2+b^3a^2+b^3a^2+1+1\ge7a\)(1)

\(b^3a^2+b^3a^2+b^3a^2+c^3b^2+c^3b^2+1+1\ge7b\)(2)

\(c^3b^2+c^3b^2+c^3b^2+a^3c^2+a^3c^2+1+1\ge7c\)(3)

\(\frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\ge3\)

\(a+b+c\ge3\)

Từ (1); (2); (3) suy ra \(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2\ge\frac{7\left(a+b+c\right)}{5}-\frac{6}{5}\)

\(P=\text{Σ}_{cyc}\frac{a}{b^2}+\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\text{Σ}_{cyc}a^3c^2+\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\ge\frac{7\left(a+b+c\right)}{5}+\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-\frac{6}{5}\)

\(=\frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{9\left(a+b+c\right)}{10}-\frac{6}{5}\)

\(\ge3+\frac{9}{10}.3-\frac{6}{5}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

\(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)vì \(\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow T\le\frac{a}{\frac{b^2+c^2}{a}+a}+\frac{b}{\frac{a^2+c^2}{b}+b}+\frac{c}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}=1\)

rõ đi bạn

bài này

nhìn

trông có vẻ hơi khó...

bài này hết sức đơn giản, hơn nữa nó cũng có trong sách những viên kim cương của trần phương

Đây chính là bài toán tổng quát của Jack Garfunkel

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(P=\frac{a^2}{ab+2ca}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1\)

Cộng thêm giả thiết abc=1, suy ra dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)