ĐK:\(m\ne1\)

Phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\)đen-ta\(\ge0.\)

\(\Leftrightarrow4m^2-24m+36-4m^2+4\ge0.\)

\(\Leftrightarrow-24m+40\ge0.\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{5}{3}.\)

Học tốt

ý 2 nek: áp dụng hệ thức vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m-6}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m+1}{m-1}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2-\frac{4}{m-1}\\x_1x_2=1-\frac{2}{m-1}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2-\frac{4}{m-1}\\2x_1x_2=2-\frac{4}{m-1}\end{cases}}\)

x₁+x₂-2x₁x₂=0.

vậy x₁,x₂ độc lập đối với m

học tốt

\(\left(m-1\right)x^2-2\left(m-3\right)x+m+1=0\left(I\right)\)

\(\left(a=m-1;b'=-\left(m-3\right);c=m+1\right)\)

Để pt (I) là pt bậc 2 \(\Leftrightarrow a\ne0\Leftrightarrow m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\)(*)

Xét \(\Delta'=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

           \(=m^2-6m+9-m^2+1\)

            \(=10-6m\)

Để pt (I) có 2 nghiệm \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow10-6m\ge0\Leftrightarrow m\le\frac{5}{3}\)

Kết hợp vs đk (*) \(\Rightarrow m\ne1;m\le\frac{5}{3}\)

Áp dụng hệ thưc Vi-ét, ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2\left(m-3\right)}{m-1}\left(1\right)\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{m+1}{m-1}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(m-1\right)=2m-6\)

        \(\Leftrightarrow mx_1-x_1+mx_2-x_2=2m-6\)

        \(\Leftrightarrow m\left(x_1+x_2-2\right)=x_1+x_2-6\)

        \(\Leftrightarrow m=\frac{x_1+x_2-6}{x_1+x_2-2}\)

Thay vào (2) \(\Rightarrow x_1.x_2=\left(\frac{x_1+x_2-6}{x_1+x_2-2}+1\right):\left(\frac{x_1+x_2-6}{x_1+x_2-2}-1\right)\)

                     \(\Leftrightarrow x_1.x_2=\left(\frac{x_1+x_2-6+x_1+x_2-2}{x_1+x_2-2}\right):\left(\frac{x_1+x_2-6-x_1-x_2+2}{x_1+x_2-2}\right)\)

                     \(\Leftrightarrow x_1.x_2=\frac{2x_1+2x_2-8}{-4}\)

                   \(\Rightarrow-4x_1.x_2-2x_1-2x_2+8=0\)

Vậy \(m\ne1;m\le\frac{5}{3}\)thì pt có 2 nghiệm

      \(-4x_1.x_2-2x_1-2x_2+8=0\)luôn độc lập vs m

Theo định lí Viet thì \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m\\x_1.x_2=\left(3m-3\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\dfrac{16}{9}.\left(3m-3\right)^2\)

⇒ \(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\left[\dfrac{4}{3}.\left(3m-3\right)\right]^2\)

⇒ \(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\left(4m-4\right)^2\)

⇒ \(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\left(x_1+x_2-4\right)^2\)

Đối chiếu ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=\dfrac{16}{9}\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{-4}{9}\)

Theo viet: \(x_1+x_2=m+2\)

                 \(x_1x_2=2m-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1+2x_2=2m+4\\x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế: \(2x_1+2x_2-x_1x_2=5\)

Vậy hệ thức trên độc lập với m.