\(5x-2\sqrt{x}\left(2+y\right)+y^2+1=0\)               (1)          (ĐK:\(x\ge0\)0)

Đặt \(\sqrt{x}=z\) ta có phương trình :

\(5z^2-2\left(2+y\right)z+y^2+1=0\)            (2)

Xem (2) là phương trình bậc hai ẩn z thì phương trình có nghiệm khi \(\Delta'=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

Thế vào (1) ta tìm được \(x=\frac{1}{2}\)

 vậy \(x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{2}\)

a) \(\left(x+y+1\right)^3=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[x\left(1+y\right)+1+y\right]=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)=2\)

\(\Rightarrow x+1,y+1,x+y\) là các ước của 2.

Ta thấy 6 có 2 dạng phân tích thành tích 3 số nguyên là \(\left(2;1;1\right)\) và\(\left(2;-1;-1\right)\).

- Xét trường hợp \(\left(2;1;1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=2\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

Giải ra ta có \(\left(x,y\right)=\left(1;0\right),\left(0;1\right)\).

- Xét trường hợp \(\left(2;-1;-1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=-1\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=2\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\).

Giải ra ta có: \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\).

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right),\left(1;0\right),\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\)

b) \(y^2+2xy-8x^2-5x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(9x^2+5x\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x^2+\dfrac{5}{9}x+\dfrac{25}{324}\right)+\dfrac{25}{36}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=\dfrac{47}{36}\)

\(\Leftrightarrow6^2.\left(x+y\right)^2-3^2.6^2\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+6y\right)^2-\left(18x+5\right)^2=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+6y-18x-5\right)\left(6x+6y+18x+5\right)=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6y-12x-5\right)\left(24x+6y+5\right)=47\)

\(\Rightarrow\)6y-12x-5 và 24x+6y+5 là các ước của 47.

Lập bảng:

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm (x;y) nguyên là (1;3) và (1;-5)

ĐK:x\(\ge\)0

pt<=>4x-4\(\sqrt{x}\)+1+x-2\(\sqrt{x}\)*y+y²=0

<=> (2\(\sqrt{x}\) -1)²+ (\(\sqrt{x}\) -y)² = 0

(a² + b² = 0 <=> a và b bằng 0)

ta có hệ pt\(\int^{2\sqrt{x}-1}_{\sqrt{x}-y=0}\)

giải hệ ta đc x=\(\frac{1}{4}\);y=\(\frac{1}{2}\)

vậy...

5x²+2y+y²-4x-40=0

△=(-4)²-4.5.(2y+y²-40)

△=16-40y-20y²+800

△=-(784+40y+20y²)

△=-(32y+8y+16y²+4y²+16+4+764)

△=-[(4y+4)²+(2y+2)²+764]<0

=>PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM.

3x + 9xy - 6y
 

Điều kiện: \(x\ge0\)

Ta có: \(5x-2\sqrt{x}\left(y+2\right)+y^2+1=0\)

   \(\Leftrightarrow4x+x-2y\sqrt{x}-4\sqrt{x}+y^2+1=0\)

   \(\Leftrightarrow4x-4\sqrt{x}+1+x-2y\sqrt{x}+y^2=0\)

   \(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{x}-y\right)^2=0\)

   \(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-1=0\) và  \(\sqrt{x}-y=0\)

   \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\) và  \(y=\sqrt{x}\) 

   \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\) và  \(y=\frac{1}{2}\)

Bài 4. 

\(\left|x-1\right|+\left|y-2\right|+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-2=0\\z-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=z=1\\y=2\end{cases}}\)

Bài 3. 

\(\left|x-1\right|+\left|2x-2\right|+\left|4x-4\right|+\left|5x-5\right|=36\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+2\left|x-1\right|+4\left|x-1\right|+5\left|x-1\right|=36\)

\(\Leftrightarrow12\left|x-1\right|=36\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=3\\x-1=-3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-2\end{cases}}\)