Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.Cmr: \(\frac{1}{x^2+y^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge30\)
cho x;y;z>0 x+y+z=1 chứng minh
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}-\frac{1}{yz}-\frac{1}{xz}\ge30\)
cho $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0,x,y,z\ne 0khido\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}=?$
cho x,y,z >0 thỏa mãn xy+yz+zx=673
CMR: \(\frac{x}{x^2-yz+2019}+\frac{y}{y^2-xz+2019}+\frac{z}{z^2-yx+2019}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
Đk: $x\geq \frac{1}{2}$
Pt $\Leftrightarrow 4x^2+3x-7=4(\sqrt{x^3+3x^2}-2)+2(\sqrt{2x-1}-1)$
$\Leftrightarrow +4\frac{(x-1)(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+4\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}+1}-(x-1)(4x+7)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)[\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-(4x+7)]=0$
$\Leftrightarrow x=1\vee \frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7=0$ $(*)$
Xét hàm số $f(x)=\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7,x\in [\frac{1}{2};+\infty )$ thì $f(x)>0,\forall x\in [\frac{1}{2};+\infty )$
$\Rightarrow $ Pt $(*)$ vô nghiệm
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : xy + yz + xz = 3.
CMR : \(\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}\le\frac{3}{4}\)
v~~ ko thằng admin :(( t làm cái bài này mất gần 30 phút mà bây giờ nó éo hiện câu trả lời của tao ???? hận quá đi
bài này easy lắm bạn ơi :((
áp dụng BDT (Am-ag) mẫu ta có
\(\left(x^2+y^2\right)\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\) rồi thay vào
suy ra \(\frac{1}{x^2+y^2+2}\le\frac{1}{2xy+2}\)
\(\left(y^2+z^2\right)\ge2yz\)
suy ra \(\frac{1}{y^2+z^2+2}\le\frac{1}{2yz+2}\)
tượng tự vs BDT con lại rồi + vế vs vế ta được
\(VT\le\frac{1}{2xy+2}+\frac{1}{2yz+2}+\frac{1}{2xz+2}=\frac{1}{xy+xy+1+1}+\frac{1}{yz+yz+1+1}+\frac{1}{xz+xz+1+1}\)
gọi cái \(\frac{1}{yz+yz+1+1}+.........=Pain\)
áp dụng cosi sáp cho 4 số ta được
\(\frac{1}{xy+xy+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
\(\frac{1}{yz+yz+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
\(\frac{1}{xz+xz+1+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
+ vế với vế ta được
\(VT\le Pain\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{xz}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\right)\)
\(VT\le PAIN\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}+1+1+1\right)\)
bây giờ m đi chứng minh cái \(\frac{1}{zy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}\ge3\) chắc là m làm được
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{1}{xz}+xz\ge2\)
\(\frac{1}{yz}+yz\ge2\)
\(\frac{1}{xz}+zx\ge2\)
+ vế với vế ta được
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+xy+yz+zx\ge6\)
mà đề bài cho xy+yz+xz=3 suy ra
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge3\)
nhưng mà nó trái dấu oy :(( kệ nhé cứ thay vào nhé không sao hết bạn oy :)
thay vào ta được
\(VT\le PAIN\le\frac{1}{8}\left(3+3\right)=\frac{3}{4}\)
ĐIỀU CẦN PHẢI CHỨNG MINH :((
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : xy + yz + xz = 3.
CMR : \(\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}\le\frac{3}{4}\)
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}\)
\(\Rightarrow 2\text{VT}=\frac{2}{x^2+y^2+2}+\frac{2}{y^2+z^2+2}+\frac{2}{z^2+x^2+2}\)
\(2\text{VT}=1-\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+1-\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+1-\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\)
\(2\text{VT}=3-\left(\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\right)=3-A\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A\geq \frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2)+6}=\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}(*)\)
Xét tử số:
\((\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\)
\(=2(x^2+y^2+z^2)+2(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}+\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}+\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)})\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq \sqrt{(x^2+yz)^2}=x^2+yz\)
\(\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sqrt{(xz+y^2)^2}=xz+y^2\)
\(\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\geq \sqrt{(z^2+xy)^2}=z^2+xy\)
\(\Rightarrow \sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow (\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\geq 4(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+xz)\)
\(\geq 3(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+xz)=3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)\)
(theo BĐT AM-GM)
Do đó: Từ \((*)\Rightarrow A\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
We have: \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+2-z^2}\le\dfrac{1}{5-z^2}\)
Similarly and by adding them:
\(\dfrac{1}{5-x^2}+\dfrac{1}{5-y^2}+\dfrac{1}{5-z^2}\le\dfrac{3}{4}\left(\circledast\right)\)
We know that \(\dfrac{1}{5-x^2}\le\dfrac{3\left(x^2+x\right)}{8\left(x^2+x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(3x^2+9x+8\right)}{8\left(x^2-5\right)\left(x^2+x+1\right)}\le0\) It's obviously
\(\Rightarrow L.H.S_{\left(\circledast\right)}\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}+\dfrac{y^2+y}{y^2+y+1}+\dfrac{z^2+z}{z^2+z+1}\right)\le\dfrac{3}{4}\)
The equality occur when \(x=y=z=1\)
Done!
cho x,y,z khác 0 và\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z\)
cmr \(y\left(y^2-yz\right)\left(1-xz\right)=x\left(1-yz\right)\left(y^2-xz\right)\)
cho x,y,z tm xy+xz+yz=1. cmr
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\)
Cmr gì bạn
Ghi đủ đề rùi nhắn tin cho mk biết là đã sửa rùi mk làm cho
Cho \(0< x,y,z\le1\). CMR: \(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}< \frac{3}{x+y+z}\)
Do \(0< x;y;z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz-x-z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz+1\ge x+z\Rightarrow1+y+xz\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\) (do \(x;y;z\le1\Rightarrow x+y+z\le3\))
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Cho x,y,z>0 và x+y+z=3. CMR: \(\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y^3}{z^3+8}+\frac{z^3}{x^3+8}\ge\frac{1}{9}+\frac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\)
https://diendantoanhoc.net/topic/167390-cmr-sum-fracx3y38geq-frac19frac227xyyzzx/
bạn tham khảo nhé