Cho tam giác ABC đều, có AH là đường cao và M là điểm bất kì thuộc đoạn BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC. Gọi O là trung điểm của AM. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là giao điểm của PQ và OH. Chứng minh rằng: 3 điểm M, I, G thẳng hàng

Cho tam giác ABC đều, các đường cao AD, BH, CK của tam giác cắt nhau tại O. M là một điểm bất kì trên cạnh BC (M không trung với B, C, D) .Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC. PQ cắt OM tại R. Chứng minh rằng  R la trung điểm PQ

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Gọi I,P,M lần lượt là trung điểm của AB,AC,BC.

a, IPMB là hình gì?

b, đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D; O là trung điểm của AD. CMR OM vuông góc với BC và 2OM=AH

c, Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CMR 3 điểm H,G,O thẳng hàng.

 

Cho tam giác ABC đều có trọng tâm là O. Từ điểm M nằm giữa B và C kẻ MD vuông góc với AB tại D, cắt OB tại I; kẻ ME vuông góc với AC tại E, cắt OC tại K.

a) Tứ giác MIOK là hình gì?Tại sao?

b)CMR: tam giác MIK đồng dạng tam giác MDE

c)CMR: MO đi qua trung điểm của DE

Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Vẽ các tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P là các tiếp điểm) 

a) C/m tam giác MNP là tam giác đều

b) kẻ đường vuông góc với ON tại O cắt MP tại I, đường vuông góc với OP tại O cắt MN tại K. C/M MIOK là hình thoi

c) C/m IK là tiếp tuyến của đường tròn

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M và I lần lượt là trung điểm của BC và AH .Kẻ IM cắt phân giác AD của góc BAC tại K.

a. Chứng tỏ BD = CD

b. HK vuông góc với AD.

cho tam giác ABC cân tại A trên BC lấy M trên tia đối của CB lấy N sao cho BM =CN qua M và N kẻ các đường thẳng vuông góc với BC cắt AB và AC lần lượt là P và Q

1)  cm MP =NQ 

2) Gọi giao điểm của PQ và BC là E cm E la trung điểm . kẻ đường thẳng vuông góc với PQ kẻ qua E cắt tia phân giác của góc BAC ở E  . Chứng minh:  tam giác AFB =tam giác AFC

Cho tam giác đều ABC. Đường cao AH.M là một điểm thuộc cạnh BC(M khác A và B).từ M kẻ MP,MQ lần lượt vuông góc với AB,AC.

a/Chứng minh MP+MQ không đổi

b/Gọi O là trung điểm của AM.tứ giác POQH là hình gì

c/tìm vị trí của M trên BC để độ dài PQ là ngắn nhất

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Qua D và E kẻ các đường thẳng vuông góc với BC cắt AB,AC lần lượt ở M và N. Gọi giao điểm của MN và BC là I. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt tia phân giác của BAC tại O. Chứng minh : a. DM = EN b. Tam giác OMN cân c. OC vuông góc với AN .