Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Tobot Z
Xem chi tiết
hoa le
Xem chi tiết
Witch Rose
3 tháng 6 2017 lúc 8:42

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}>=4\sqrt[4]{\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{27.27.9}.\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}...\)

\(>=\frac{4}{9}a\)

Tương tự

\(=>VT>=\frac{4}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{9}-2\left(\frac{a+2}{9}+\frac{b+2}{9}+\frac{c+2}{9}\right)=\frac{1}{3}.\)

Dấu "="xảy ra khi a=b=c=1

Lê Tài Bảo Châu
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
1 tháng 8 2020 lúc 8:33

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\)\(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

Khách vãng lai đã xóa
Phùng Minh Quân
27 tháng 7 2020 lúc 22:28

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko

Khách vãng lai đã xóa
Phùng Minh Quân
27 tháng 7 2020 lúc 22:50

3a biến đổi tí là xong

b tuong tự bài 1 

Khách vãng lai đã xóa
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Tran Le Khanh Linh
23 tháng 8 2020 lúc 12:03

Phân tích Trước hết ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1. Quan sát Bất Đẳng Thức ta nhận thấy các dấu hiệu sử dụng Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki dạng phân thức, sử dụng kĩ thuật đánh giá mẫu

Bài giải: Suy nghĩ đầu tiên khi quan sát Bất Đẳng Thức đó là dấu hiệu áp dụng Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Như vậy khi đó ta được

\(\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^4}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)+\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

Như vậy ta cần chỉ ra được \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)+\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)+\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Để ý thấy khi khai triển mẫu thì xuất hiện đại lượng \(a^3+b^3+c^3\)và đánh giá đại lượng đó theo kiểu \(a^3+b^3+c^2\le?̸\)

rất phức tạp. Do đó đánh giá một cách trực tiếp như vậy có vẻ không đem lại hiệu quả. Như vậy để áp dụng hiểu quả ta cần biến đổi Bất Đẳng Thức về một dạng khác

Chú ý là tại các mẫu xuất hiện tích của 2 đại lượng do đó ta sẽ đưa một đại lượng lên trên tử số. Khi đó ta có các cách biến đổi là

\(\orbr{\begin{cases}\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b+c}}\right)^2}{b^2+c^2}\\\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)^2}{b+c}\end{cases}}\)

Để ý rẳng sau khi áp dụng thì ta thu được là tổng các mẫu đó, do đó cần chú ý đến giả thiết a+b+c=3 thì ta chọn cách biến đổi thứ hai. Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành

\(\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)^2}{b+c}+\frac{\left(\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}\right)^2}{a+c}+\frac{\left(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}{a+b}\ge\frac{3}{4}\)

Đến đây áp dụng BĐT Cauchy ta được \(\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)^2}{b+c}+\frac{\left(\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}\right)^2}{a+c}+\frac{\left(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}{a+b}\ge\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

\(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Như vậy sau một số bước đánh giá ta đưa được về một bất đẳng thức có vẻ đơn giản hơn bất đẳng thức cần chứng minh và bất đẳng thức lúc này cũng có dấu hiệu của BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được 

\(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2}}\)

Và ta cần chứng minh được \(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2}\le3\sqrt{2}\)tuy nhiên đánh giá này hoàn toàn sai vì \(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Như vậy để đảm bảo các đánh giá đùng chiều ta cần nâng lũy thừa của các phân số lên, do đó ta có đánh giá

\(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2\sqrt{b^2+c^2}+b^2\sqrt{a^2+c^2}+c^2\sqrt{a^2+b^2}}\)

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta được

 \(a^2\sqrt{b^2+c^2}+b^2\sqrt{a^2+c^2}+c^2\sqrt{a^2+b^2}\)\(\le\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[a^2\left(b^2+c^2\right)+b^2\left(a^2+c^2\right)+c^2\left(a^2+b^2\right)\right]}\)\(=\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)

Do đó ta được \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2\sqrt{b^2+c^2}+b^2\sqrt{c^2+a^2}+c^2\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\)

Khách vãng lai đã xóa
Tran Le Khanh Linh
23 tháng 8 2020 lúc 12:06

*Đang giải bấm nhầm gửi trả lời, làm tiếp*

Ta cần chỉ ra được \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Để ý thấy rằng

\(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)

\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta được điều phải chứng minh 

Khách vãng lai đã xóa
Tran Le Khanh Linh
23 tháng 8 2020 lúc 12:19

Cách làm trên đúng tuy nhiên quá dài nên mình làm theo 1 cách khác ngắn hơn nhiều. Ta thấy rằng trong mỗi phân thức tử số bậc bốn và mẫu số bậc ba, chú ý đến giả thiết a+b+c=3 ta có thể đồng bậc như sau

\(\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^4}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{a+b+c}{4}\)

Do đó ta hướng đến cách đơn giản hóa mẫu số, điều này làm ta nghĩ đến một đánh giả kiểu \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x^3+y^3\right)\)Đây là một đánh giá chứng minh được nhờ phép biến đổi tương đương 

\(\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^4}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{a^4}{2\left(b^3+c^2\right)}+\frac{b^4}{2\left(a^3+c^3\right)}+\frac{c^4}{2\left(a^3+b^3\right)}\) Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 

\(\frac{a^4}{2\left(b^3+c^3\right)}+\frac{b^4}{2\left(a^3+c^3\right)}+\frac{c^4}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{a+b+c}{4}\)

Bất Đẳng Thức này có thể chứng minh bằng cách áp dụng đồng thời Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki dạng phân thức và Bất Đẳng Thức Cauchy 

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết
HD Film
25 tháng 7 2020 lúc 12:08

Câu 1:
\(4\sqrt[4]{\left(a+1\right)\left(b+4\right)\left(c-2\right)\left(d-3\right)}\le a+1+b+4+c-2+d-3=a+b+c+d\)

Dấu = xảy ra khi a = -1; b = -4; c = 2; d= 3

Khách vãng lai đã xóa
Phùng Minh Quân
25 tháng 7 2020 lúc 12:14

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^2b}\ge\frac{2}{b^3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b^5}\ge\frac{2}{b^3}-\frac{1}{a^2b}\)

\(\frac{2}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2b}\le\frac{2}{3a^3}+\frac{1}{3b^3}\)

\(\Rightarrow\)\(\Sigma\frac{a^2}{b^5}\ge\Sigma\left(\frac{5}{3b^3}-\frac{2}{3a^3}\right)=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyen Phan Hung Cuong
25 tháng 7 2020 lúc 19:59

ta sẽ giết ngươi kí tên dép đờ kiu lờ

Khách vãng lai đã xóa
Suzanna Dezaki
Xem chi tiết
Thu Thao
2 tháng 2 2021 lúc 11:24

Đề hay thật sự, cho x,y,z nhưng chứng minh a,b,c :vundefinedundefined

Nguyễn Anh Minh
Xem chi tiết
Mạnh Châu
23 tháng 3 2017 lúc 22:24

mình chịu bó tay

Nguyễn Anh Minh
24 tháng 3 2017 lúc 6:48

sao lại thế -.-

Thắng Nguyễn
24 tháng 3 2017 lúc 11:48

Bài 1:

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:

\(\frac{bc}{2a+b+c}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT kia ta cũng có: 

\(\frac{ca}{2b+c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\right);\frac{ab}{2c+a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT ta có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{ca+bc}{a+b}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{4}=VP\)(Điều phải chứng minh)

Bài 2: xem lại đề nhất là cái chỗ giả thiết

Bùi Thị Vân Anh
Xem chi tiết
giang ho dai ca
30 tháng 4 2015 lúc 16:32

bạn xem bài này tại đây: 

http://d.violet.vn/uploads/resources/615/2779702/preview.swf

ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )
Xem chi tiết