a) x^4 - x^3 + ax + b chia  cho x^2 -x - 2 dư 2x - 3 

=> x^4 - x^3 + ax + b = ( x^2 - x - 2 ) q(x) + 2x - 3 

=> x^4 - x^3 + ax + b = (  x + 1 )(x- 2 ) q(x) + 2x - 3 

Thay x = 2 ta có :

       2^4 - 2^3 + 2a + b = 0 + 2.2 - 3

        16  - 8 + 2a + b = 1

          8 + 2a + b = 1 

               2a + b     = -7 => b = -7 - 2a 

Thay x = -1 ta có :

           (-1)^4 - (-1)^3 + (-1).a + b = 0 + 2(-1) - 3

            1 + 1 - a + b                = -2 - 3

                2 - a + b                = -5

                  -a + b                  = - 7 

Thay b = -7 - 2 a ta có :

                  -a + -7 - 2a             = -7

                     -3a - 7                  = -7

                        -a                        = 0

                         a = 0 

b = - 7 -2a = -7 - 0 = -7 

Vậy a = 0 ; b = -7 

Bài 1: 
a) (27x^2+a) : (3x+2) được thương là 9x - 6, dư là a + 12. 
Để 27x^2+a chia hết cho (3x+2) thì số dư a+12 =0 suy ra a = -12.

b, a=-2 
c,a=-20 

Bài2.Xác định a và b sao cho 
a)x^4+ax^2+1 chia hết cho x^2+x+1 
b)ax^3+bx-24 chia hết cho (x+1)(x+3) 
c)x^4-x^3-3x^2+ax+b chia cho x^2-x-2 dư 2x-3 
d)2x^3+ax+b chia cho x+1 dư -6, x-2 dư 21

Giải

a) Đặt thương của phép chia x^4+ax^2+1 cho x^2+x+1 là (mx^2 + nx + p) (do số bị chia bậc 4, số chia bậc 2 nên thương bậc 2) 
<=> x^4 + ax^2 + 1 = (x^2+ x+ 1)(mx^2 + nx + p) 
<=> x^4 + ax^2 + 1 = mx^4 + nx^3 + px^2 + mx^3 + nx^2 + px + mx^2 + nx + p (nhân vào thôi) 
<=> x^4 + ax^2 + 1 = mx^4 + x^3(m + n) + x^2(p + n) + x(p + n) + p 
Đồng nhất hệ số, ta có: 
m = 1 
m + n = 0 (vì )x^4+ax^2+1 không có hạng tử mũ 3 => hê số bậc 3 = 0) 
n + p = a 
n + p =0 
p = 1 
=>n = -1 và n + p = -1 + 1 = 0 = a 
Vậy a = 0 thì x^4 + ax^2 + 1 chia hết cho x^2 + 2x + 1 
Mấy cái kia làm tương tự, có dư thì bạn + thêm vào, vd câu d: 
Đặt 2x^3+ax+b = (x + 1)(mx^2 + nx + p) - 6 = (x - 2)(ex^2 + fx + g) + 21 

b) f(x)=ax^3+bx-24; để f(x) chia hết cho (x+1)(x+3) thì f(-1)=0 và f(-3)=0 
f(-1)=0 --> -a-b-24=0 (*); f(-3)=0 ---> -27a -3b-24 =0 (**) 
giải hệ (*), (**) trên ta được a= 2; b=-26 

c) f(x) =x^4-x^3-3x^2+ax+b 
x^2-x-2 = (x+1)(x-2). Gọi g(x) là thương của f(x) với (x+1)(x-2). Khi đó: 
f(x) =(x+1)(x-2).g(x) +2x-3 
f(-1) =0+2.(-1)-3 =-5; f(2) =0+2.2-3 =1 
Mặt khác f(-1)= 1+1-3-a+b =-1-a+b và f(2)=2^4-2^3-3.2^2+2a+b = -4+2a+b 
Giải hệ: -1-a+b=-5 và -4+2a+b =1 ta được a= 3; b= -1 

d) f(x) =2x^3+ax+b chia cho x+1 dư -6, x-2 dư 21. vậy f(-1)=-6 và f(2) =21 
f(-1) = -6 ---> -2-a+b =-6 (*) 
f(2)=21 ---> 2.2^3+2a+b =21 ---> 16+2a+b=21 (**) 
Giải hệ (*); (**) trên ta được a=3; b=-1

Bài 1:

\(2x^4+ax^2+bx+c⋮x-2\\ \Leftrightarrow2x^4+ax^2+bx+c=\left(x-2\right)\cdot a\left(x\right)\)

Thay \(x=2\Leftrightarrow32+4a+2b+c=0\Leftrightarrow4a+2b+c=-32\left(1\right)\)

\(2x^4+ax^2+bx+c:\left(x^2-1\right)R2x\\ \Leftrightarrow2x^4+ax^2+bx+c=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot b\left(x\right)+2x\)

Thay \(x=1\Leftrightarrow2+a+b+c=2\Leftrightarrow a+b+c=0\left(2\right)\)

Thay \(x=-1\Leftrightarrow2+a-b+c=-2\Leftrightarrow a-b+c=-4\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\\a+b+c=0\\a-b+c=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{34}{3}\\b=2\\c=\dfrac{28}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Do \(f\left(x\right):x^2+x-12\) được thương bậc 2 nên dư bậc 1

Gọi đa thức dư là \(ax+b\)

Vì \(f\left(x\right):x^2+x-12\) được thương là \(x^2+3\) và còn dư nên

\(f\left(x\right)=\left(x^2+x-12\right)\left(x^2+3\right)+ax+b\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x-3\right)\left(x^2+3\right)+ax+b\)

Thay \(x=3\Leftrightarrow f\left(3\right)=3a+b\)

Mà \(f\left(x\right):\left(x-3\right)R2\Leftrightarrow f\left(3\right)=2\Leftrightarrow3a+b=2\left(1\right)\)

Thay \(x=-4\Leftrightarrow f\left(-4\right)=-4a+b\)

Mà \(f\left(x\right):\left(x+4\right)R9\Leftrightarrow f\left(-4\right)=9\Leftrightarrow-4a+b=-9\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=2\\-4a+b=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=5\end{matrix}\right.\)

Do đó \(f\left(x\right)=\left(x^2+x-12\right)\left(x^2+3\right)-x+5\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4+3x^2+x^3+3x-12x^2-36-x+5\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4+x^3-9x^2+2x-31\)

khó quá

Vì \(2x^3+ax+b\)chia x + 1 dư - 6

=> \(2x^3+ax+b=\left(x+1\right)Q-6\)

Với x = -1

\(\Rightarrow-2-a+b=-6\)

\(b-a=-6+2=-4\)(1)

Vì \(2x^3+ax+b\)chia x - 2 dư 21

\(\Rightarrow2x^3+ax+b=\left(x-2\right)f\left(x\right)+21\)

Với x = 2

\(16+2a+b=21\)

\(2a+b=5\)(2)

Từ (1) và (2) => a - b = 4 =>a=4+b; 2a +b = 5=>8+2b+b=5=>3b=-3<=> b = -1

=> a = 4-1=3

https://olm.vn/hoi-dap/detail/92036248714.html

Xem ở link này ( mình gửi cho)

Học tốt!!!!!!!

Ta có:

\(x^2+ax+b=\left(x+1\right)\cdot P\left(x\right)+6\)

\(x^2+ax+b=\left(x-2\right)\cdot Q\left(x\right)+3\)

Với \(x=-1\Rightarrow x^2+ax+b=6\Leftrightarrow1-a+b=6\Rightarrow-a+b=6\)

Với \(x=2\Rightarrow x^2+ax+b=6\Leftrightarrow4+2a+b=6\Leftrightarrow2a+b=2\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow-3a=4\Rightarrow a=-\frac{4}{3}\Rightarrow b=\frac{14}{3}\)