Bạn coi lại đề, nhìn 2 vế của điều kiên đều là \(\sqrt{x+2}\) có vẻ sai sai rồi đó

CÁCH 1 :\(x+2y=3\Rightarrow x=3-2y\)

Ta có \(E=x^2+y^2=\left(3-2y\right)^2+y^2\)

\(=9-12y+4y^2+y^2\)

\(=5y^2-12y+9\)

\(=5\left(y^2-2.\frac{6}{5}.y+\frac{36}{25}\right)+\frac{9}{5}\)

\(=5.\left(y-\frac{6}{5}\right)^2+\frac{9}{5}\)

Vì \(5.\left(y-\frac{6}{5}\right)^2\ge0\forall y\) nên \(5\left(y-\frac{6}{5}\right)^2+\frac{9}{5}\ge\frac{9}{5}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left(y-\frac{6}{5}\right)^2=0\Leftrightarrow y=\frac{6}{5}\)

và \(x=3-2y=3-\frac{12}{5}=\frac{3}{5}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là \(\frac{9}{5}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}\)và\(y=\frac{6}{5}\)

Áp dụng BDT Bunhacopxki ta có

        \(\left(x+2y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+2^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(3^2\)           \(\le5\left(x^2+y^2\right)\)

 \(\Leftrightarrow\)         \(x^2+y^2\ge\frac{9}{5}\)

Bạn tự chỉ ra dấu bằng như ở cách 1 nha

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$

Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

A = x³ + y³ + 3x².y²

= (x + y)³ - 3xy(x + y) + 3x².y²

= 8 - 6xy + 3x².y²

= 3(x²y² - 2xy + 1) + 5

= 3(xy - 1)² + 5

Do (xy - 1)² >= 0 với mọi x, y nên 3(xy - 1)² + 5 >= 5 với mọi x, y

--> A >= 5

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.

Vậy GTNN của A là 5 (khi x = y = 1)

\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)

\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)

\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)

\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)

\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)

\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)