Sử dụng quy tắc đa thức: \(P\left(a\right)-P\left(b\right)\) chia hết \(a-b\) cho đa thức hệ số nguyên

Do a;b;c;d lẻ nên hiệu của chúng đều chẵn

\(P\left(c\right)-P\left(a\right)=4\Rightarrow4⋮c-a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c-a=-2\\c-a=-4\end{matrix}\right.\)

Tương tự ta có \(\left[{}\begin{matrix}b-a=-2\\b-a=-4\end{matrix}\right.\)

Mà \(a>b>c\) \(\Rightarrow b-a>c-a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b-a=-2\\c-a=-4\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow a;b;c\) là 3 số nguyên lẻ liên tiếp

Lại có \(P\left(b\right)-P\left(d\right)=4⋮b-d\Rightarrow b-d=\left\{-4;-2;2;4\right\}\)

Tương tự: \(c-d=\left\{-4;-2;2;4\right\}\) (1)

Do đã chứng minh được a; b và c là 2 số lẻ liên tiếp \(\Rightarrow c=b-2\) ; \(c=a-4\) (2)

- Nếu \(b-d=-4\Rightarrow c-d=b-2-d=-4-2=-6\) không thỏa mãn (1) (loại)

- Nếu \(b-d=-2\Rightarrow c-d=b-d-2=-4\) \(\Rightarrow c=d-4\)

\(\Rightarrow d=a\) theo (2) trái giả thiết a;b;c;d phân biệt (loại)

- Nếu \(b-d=2\Rightarrow c-d=b-d-2=0\Rightarrow c=d\) trái giả thiết c;d phân biệt (loại)

- Nếu \(b-d=4\Rightarrow c-d=b-d-2=2\)

\(\Rightarrow d\) là số lẻ liền trước của c

Vậy a;b;c;d là bốn số nguyên lẻ liên tiếp theo thứ tự \(a>b>c>d\)

ta có \(a-b|P\left(a\right)-P\left(b\right).màP\left(b\right)=-1\) nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}a-b=1\\a-b=-1\end{matrix}\right.\)

tương tự ta cũng được \(\left[{}\begin{matrix}c-b=1\\c-b=-1\end{matrix}\right.\) rõ ràng a≠c(do P(a)≠P(a)) nên a-b≠c-b

từ đây ta được

\(\left[{}\begin{matrix}a-b=1\\c-b=-1\end{matrix}\right.V\left[{}\begin{matrix}a-b=-1\\c-b=1\end{matrix}\right.\)

suy ra \(a+c=2b\) 

vậy ta được đpcm

Do \(P\left(a\right)=P\left(b\right)=P\left(c\right)=P\left(d\right)=7\) nên \(P\left(x\right)-7=0\) có 4 nghiệm nguyên phân biệt

\(\Rightarrow P\left(x\right)-7=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)\) với Q(x) là đa thức có giá trị nguyên khi x nguyên

Xét phương trình: \(P\left(x\right)-14=0\)

\(\Leftrightarrow P\left(x\right)-7=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)=7\) (1)

Do a;b;c;d phân biệt \(\Rightarrow\) vế trái là tích của ít nhất 4 số nguyên phân biệt khi x nguyên

Mà 7 là số nguyên tố nên chỉ có thể phân tích thành tích của 2 số nguyên phân biệt

\(\Rightarrow\) Không tồn tại x nguyên thỏa mãn (1) hay \(P\left(x\right)-14=0\) ko có nghiệm nguyên