+) Ta có: 1 số chia 5 có số dư là: 0; 1; 2; 3; 4

=> 1 số chính phương chia 5 sẽ có số dư là: 0; 1; 4

=> Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên chia 5 sẽ có số dư là: 0; 1 

=>  các số \(a^4;b^4;c^4\) chia cho 5 sẽ có bộ 3 số dư là: 0; 0; 0 hoặc 1;1;1 hoặc 1; 0; 0 hoặc 1; 1; 0

Nếu \(a^4;b^4;c^4\)chia  cho 5 sẽ có bộ 3 số dư là:  1;1;1 hoặc 1; 1; 0

=> \(a^4+b^4+c^4\)chia cho 5 có số dư là 3 hoặc 2  vô lí vì \(a^4+b^4+c^4\) là một số chinh phương chia 5 dư 0; 1; 4

Do đó tồn tại 2 số trong 3 số chia cho 5 dư 0 hay chia hết cho 5

=> Giả sử đó là \(a^4⋮5\) và \(b^4⋮5\) => \(a,b⋮5\)=> \(abc⋮25\)(1)

+) Xét các trường hợp chẵn lẻ: nhận xét: Số chính phương chẵn chia 8 dư 0 hoặc 4; Số chính phương lẻ chia 8 dư 1 

=> Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên chẵn chia hết cho 8;  Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên lẻ chia 8 dư 1

Nếu a, b, c lẻ => \(a^4+b^4+c^4\)chia 8 dư 3  loại 

Nếu 2 trong 3 số a, b, c lẻ => \(a^4+b^4+c^4\)chia 8 dư 2 loại

=> Tồn tại 2 trong 3 số a, b, c là số chẵn 

=> \(abc⋮4\)(2)

từ (1); (2) và (4;25) = 1; 4.25=100

=> \(abc⋮100\)

Từ đề bài \(\Rightarrow a^2+b^2-2ab-8a=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=8a\)

Hay \(\left(a-b\right)^2=4.2a\)

Vì \(\left(a-b\right)^2;4\)là số chính phương nên \(2a\) là số chính phương chẵn \(\Rightarrow2a=4k^2\left(k\in Z\right)\)

Do đó \(a=2k^2⋮2\) và \(\frac{a}{2}=k^2\) là số chính phương (ĐPCM)

gưgeegfewbfdqa

fcxvmbn mghtfrqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4