a)  \(\Delta ABH\) có   \(BI\) là phân giác   \(\widehat{ABH}\),   áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

       \(\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{AB}\)

\(\Rightarrow\)\(IH.AB=IA.BH\)

b)  Xét 2 tam giác vuông:  \(\Delta BHA\) và   \(\Delta BAC\) có:

          \(\widehat{B}\)   CHUNG

         \(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\)

suy ra:   \(\Delta BHA\)\(~\)\(\Delta BAC\)   

\(\Rightarrow\)\(\frac{BH}{AB}=\frac{BA}{BC}\)

\(\Rightarrow\)\(AB^2=BH.BC\)

c) hình như đề sai, bn ktra lại nhé

d)  Ta có:   \(\widehat{BEA}+\widehat{ABE}=\widehat{BIH}+\widehat{IBH}\left(=90^0\right)\)

mà    \(\widehat{ABE}=\widehat{IBH}\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BEA}=\widehat{BIH}\)

mà  \(\widehat{BIH}=\widehat{AIE}\)  (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AIE}=\widehat{AEI}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta AIE\) cân

Mình bổ sung câu c nhé ^^

 Ta có:\(\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{AB}\left(1\right)\)
           \(\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{BC}\left(\text{BE là đường phân giác góc B}\right)\left(2\right)\)
           \(\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}\left(\text{\Delta BHA ~\Delta BAC}\right)\left(3\right)\) 
Từ (2) và (3) suy ra:

\(\frac{AE}{CE}=\frac{BH}{AB}\left(4\right)\)

Từ (1) và (4) suy ra:

\(\frac{IH}{IA}=\frac{AE}{EC}\)

Chúc bạn học tốt ^^

a)Xét △ABC vuông tại A (gt)

=> BC² = AB² + AC² (định lý Pytago)

     BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

=> BC = \(\sqrt{169}\) = 13 cm

Xét △ABC có BF là tia phân giác của góc ABC (gt)

=>\(\dfrac{AF}{AB}\) = \(\dfrac{FC}{BC}\) (tính chất đường phân giác)

=>\(\dfrac{AF}{5}\) = \(\dfrac{FC}{13}\) và AF + FC = AC = 12

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{AF}{5}\) = \(\dfrac{FC}{13}\) = \(\dfrac{AF+FC}{5+13}\) = \(\dfrac{AC}{18}\) = \(\dfrac{2}{3}\)

=> AF = \(\dfrac{2}{3}\) x 5 = 3,33 cm và FC = \(\dfrac{2}{3}\) x 13 = 8,67 cm

b)Xét △ABF và △HBE có:

góc ABF bằng góc HBE (BF là tia phân giác của góc ABC)

góc BAF bằng góc BHE bằng 90^o (tam giác ABC vuông tại A và AH ⊥ BC)

=> △ABF ∼ △HBE (g.g)

c) Vì △ABF ∼ △HBE (câu b)

=> góc BFA bằng góc BEH

mà góc AEF bằng góc BEH (2 góc đối đỉnh)

=> góc BFA bằng góc AEF

=> △AEF cân tại A

d)Xét △ABC và △AHB có:

góc ABC chung

góc BAC bằng góc BHA bằng 90^o (tam giác ABC vuông tại A và AH ⊥ BC)

=> △ABC ∼ △HBA (g.g)

=> \(\dfrac{AB}{BC}\) = \(\dfrac{BH}{AB}\) (1)

Xét △ABH có BE là tia phân giác của góc ABC (gt)

=>\(\dfrac{HE}{AE}\) = \(\dfrac{BH}{AB}\) (2) (tính chất đường phân giác)

Từ (1), (2) => \(\dfrac{AB}{BC}\) = \(\dfrac{HE}{AE}\)

=> AB.AE=BC.HE(chắc vậy?)

câu d sai đề à????