Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:
a. \(\frac{4}{x}\)=\(\frac{y}{21}\)=\(\frac{z}{49}\)=\(\frac{52}{91}\)
b.\(\frac{4}{5}\)=\(\frac{12}{x}\)=\(\frac{y}{20}\)=\(\frac{8\left(y-x\right)}{z}\)
Các bạn giúp mk nha, mình cần lắm ạ!
Bài 1: Tìm các số nguyên x,y,z biết :
\(\frac{\text{4}}{X}=\frac{Y}{21}\)
\(\frac{Z}{49}=\frac{52}{91}\)
Bài 2: Chứng minh phân số \(\frac{n}{n+1}\)tối giản
Bài 1:
a) \(\Rightarrow XY=4.21=84\)
Rồi tìm các cặp số thỏa mãn đi. Cả âm dương nhé.
b) \(\Rightarrow91Z=49.52=2548\)
\(\Rightarrow Z=2548:91=28\)
Bài 2: (Dạng này mới xem áp dụng luôn)
Gọi \(d\)là ước chung của \(n;n+1\)
\(\Rightarrow n⋮d\)và \(n+1⋮d\)
\(\Rightarrow n-\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow n-n-1⋮d\)
\(\Rightarrow-1⋮d\Rightarrow d=1;-1\)
Tử và số chỉ có ước chung là 1;-1 nên phân số \(\frac{n}{n+1}\)tối giản (đpcm)
) Tính giá trị của biểu thức sau bằng các hợp lý : A=\(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{49}}+\frac{1}{49}-\frac{1}{\left(7\sqrt{7}\right)^2}}{\frac{\sqrt{64}}{2}-\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^2-\frac{4}{343}}\)
b) Tính: B=\(\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)...\left(1-\frac{1}{1+2+3+...+2017}\right)\)
c) Giả sử x+y+z=2017 và \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{672}\)
TÍNH tổng C=\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
d) Cho ba sô x,y,z thỏa mãn xyz=2017
Tính tổng: D= \(\frac{2017x}{xy+2017x+2017}+\frac{y}{yz+y+2017}+\frac{z}{zx+z+1}\)
làm lần lượt nhá,dài dòng quá khó coi.ahihihi!
\(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{49}}+\frac{1}{49}-\frac{1}{7\left(\sqrt{7}\right)^2}}{\frac{\sqrt{64}}{2}-\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^2-\frac{4}{343}}=\frac{1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}}{4-\frac{4}{7}+\frac{4}{49}-\frac{4}{343}}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}}{4\left(1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}\right)}=\frac{1}{4}\)
b
Tổng quát:\(1-\frac{1}{1+2+3+....+n}=1-\frac{1}{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}=1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n^2+2n\right)-\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{n\left(n+2\right)-\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
Thay số vào,ta được:
\(\frac{\left(2-1\right)\left(2+2\right)}{2\left(2+1\right)}\cdot\frac{\left(3-1\right)\left(3+2\right)}{3\left(3+1\right)}\cdot.....\cdot\frac{\left(2017-1\right)\left(2017+2\right)}{2017\left(2017+1\right)}\)
\(=\frac{1\cdot4}{2\cdot3}\cdot\frac{2\cdot5}{3\cdot4}\cdot...\cdot\frac{2016\cdot2019}{2017\cdot2018}\)
\(=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot2016}{2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot2017}\cdot\frac{4\cdot5\cdot6\cdot...\cdot2019}{3\cdot4\cdot5\cdot...\cdot2018}\)
\(=\frac{1}{2017}\cdot\frac{2019}{3}=\frac{2019}{6051}\)
Tìm các số nguyên x,y,z,t,u biết: \(\frac{4}{3}=\frac{12}{9}=\frac{8}{x}=\frac{y}{21}=\frac{40}{z}=\frac{16}{t}=\frac{u}{111}\)
Cho các số nguyên x,y,z,t thỏa mãn
\(\frac{x+y}{y+z}=\frac{y+z}{z+t}=\frac{z+t}{t+x}=\frac{t+x}{x+y}\)
CTR:A =\(\left(\frac{y+z}{x+t}\right)^{2013}+\left(\frac{y+t}{x+y}\right)^{2014}\)có giá trị là số nguyên
Đề sai kìa bạn , xem lại phân số : (y+t/x+y)^2014
vậy bn làm theo cái đúng của bn,mong bn giúp mk
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
mn giúp nha mơn nhiều
Xét: \(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)\(=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=x-y\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}-\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}=y-z\)(2); \(\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=z-x\)(3)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\left[\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]\)\(-\left[\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Mà \(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)nên \(2A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(\ge\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2}}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)\)\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{x+y}+\frac{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}{y+z}+\frac{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}{z+x}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\)(Do theo giả thiết thì x + y + z = 1)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài này t làm rồi, "nhẹ" không ấy mà :|
Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Rightarrow A=\frac{1}{4}\). Ta c/m nó là GTNN của A
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Cần chứng minh BĐT \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\)
BĐT cuối đúng tức ta có \(A_{Min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
P/s: Nguồn lời giải Câu hỏi của Vo Trong Duy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath, rảnh quá ngồi gõ lại :V
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt tại H. Qua A vẽ đường thẳng song song với BE,CF lần lượt cắt CF,BE tại P và Q. Chứng minh: PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC
cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR:
\(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{zx}{z^2+x^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{15}{4}\)
vì x+y+z=1nên
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)
nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)
dau = xay ra khi x=y=z=1/3
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
Tính \(A=\frac{3}{4}+\left(x-y\right)^{2017}+\left(y-z\right)^{89}+\left(z-x\right)^{1203}\)
bài 1 tìm x,y,z
a,\(\frac{x}{10}\)=\(\frac{y}{15}\),x=\(\frac{7}{2}\)và x+2y-3z=20
b,2x=3y,49=57 và 4x-3y+5z=7
c,\(\frac{2x}{3}\)=\(\frac{3y}{4}\)=\(\frac{47}{5}\)và x+y+z=49
2 tìm x trong các tỉ lệ thức sau
a, \(\frac{x-3}{x+5}=\frac{5}{7}\)
b,\(\frac{7}{x-1}\)\(=\frac{x+1}{9}\)
c \(\frac{x+4}{20}=\frac{5}{x+4}\)
d,\(\frac{x-1}{x+2}=\frac{x-2}{x+3}\)
bài 3: tìm các số x,y,z
a,\(\frac{x}{y}=\frac{7}{10}=\frac{z}{9}\)
b,\(\frac{x}{y}=\frac{9}{7};\frac{y}{z}=\frac{7}{3}\) và x-y+z=-15
c,\(\frac{x}{y}=\frac{7}{20};\frac{y}{z}=\frac{5}{8}\)và 2x+5y-2z=100
bài 4 tìm các số x,y,z
a,5x=8y=20z và x-y-z=3
b ,\(\frac{6}{11}x=\frac{9}{2}y=\frac{18}{5}z\)và -x+y+z=-120
bài 5 tìm x,y,z biết
và xyz=20
bài 6 tìm x,y,z biết
\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}\)và x2 + y2 -z2 =585
\(\frac{6}{11}x=\frac{9}{2}y=\frac{18}{5}z\Rightarrow\frac{6x}{11.18}=\frac{9y}{2.18}=\frac{18z}{5.18}\)
\(\Rightarrow\frac{-x}{-33}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{-x+y+z}{-33+4+5}=\frac{-120}{-24}=5\)
\(\Rightarrow x=165;y=20;z=25\)
giúp bài toán nâng cao nha
Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn : \(\frac{y+x-z}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)
Tính giá trị của biểu thức : \(M=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
Từ \(\frac{y+x-z}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{y+x-z}{x}+2=\frac{z+x-y}{y}+2=\frac{x+y-z}{z}+2\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+x}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)
* Xét \(x+y+z\ne0\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Khi đó \(B=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}=2.2.2=8\)
* Xét \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(B=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=-1\)