x+1/y=y+1/z => x-y=1/z-1/y=(y-z)/yz 

Tương tự y-z=(z-x)/zx ; z-x=(x-y)/xy

Nhân theo vế các đẳng thức trên  ta đc:

(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)/x²y²z²

=>(x-y)(y-z)(z-x)x²y²z²-(x-y)(y-z)(z-x)=0

=>(x-y)(y-z)(z-x)(x²y²z²-1)=0

=>x-y=0 hoặc y-z=0 hoặc z-x=0 hoặc x²y²z²-1=0

=>x=y=z hoặc x²y²z²=1(đfcm)

\(\hept{\begin{cases}x-y=\frac{y-z}{yz}\\y-z=\frac{z-x}{xz}\\z-x=\frac{\left(x-y\right)}{xy}\end{cases}}\) Hiển nhiên với x=y=z là nghiệm của hệ (*)

Nếu \(\hept{\begin{cases}x-y\ne0\\y-z\ne0\\z-x\ne0\end{cases}}\) Nhân theo vế ta được \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left[1-\frac{1}{\left(xyz\right)^2}\right]=0\Rightarrow\left(xyz\right)^2=1\)(**)

Từ (*)(**)=> dpcm

Ta có: \(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}\Rightarrow x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}\)(1)

\(y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\Rightarrow y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{zx}\)(2)

\(z+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{y}\Rightarrow z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\)(3)

Nhân vế theo vế ba đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=0\left(^∗\right)\\x^2y^2z^2=1\end{cases}}\)

Từ (*) ta giả sử x - y = 0 thì x = y khi đó \(\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Rightarrow y=z\)suy ra x = y = z. Tương tự đối với y - z = 0; z - x = 0

Vậy x = y = z hoặc x²y²z² = 1

Ta có :

 \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

Khi đó ta chứng minh được :

\(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)

Mà \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Từ đó ta suy ra :

\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}\)

\(=\frac{\left(3xyz\right)^2-2.3.x^2y^2z^2}{3xyz}\)

\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}\)

\(=xyz\)( ĐPCM )

Hên xui thôi

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)

CM : \(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=3x^2y^2z^2\)

CM: \(x+y+z=0\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Rightarrow\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)}{3xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz}=xyz\)

1/y+1/x+1/z=0

=>xy+yz+xz=0(tự cm)

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2=0

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+3xyz=3xyz

x^6+y^6+z^6=(x^2+y^2+z^2)(X^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2z^2)+3(xyz)^2=3(xyz)^2

=> (x^6+y^6+z^6)/(x^3+y^3+z^3)=3(Xyz)^2/3xyz=xyz(dpcm)

:D???? ể??

\(x+y+z=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-y-z\\y=-z-x\\z=-x-y\end{cases}}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)

\(\hept{\begin{cases}xy=\left(-y-z\right).y=-y^2-zy\\yz=\left(-x-z\right).z=-z^2-xz\\xz=\left(-y-x\right).x=-x^2-xy\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+zx=-\left(x^2+y^2+z^2+xz+xy+zy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0??????\)

p/s: ko biết t lỗi hay đề lỗi ((: 

Boul ơi sai rồi >.<

\(xy+yz+zx=-\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=0\) chớ ko phải thành -(x² + y² + z² )= 0 nha =)) chuyển vế nhầm r

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)lại quay lại đề bài nên cách đó loại nha =( làm giống bạn Mo Anime nhá

đề bài thiếu hả bạn

ơ quên thêm đề bài là: thì trong ba số đó đối nhau

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)\cdot\left(xy+yz+zx\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{xyz\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\cdot\left(xy+yz+zx\right)=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+yz^2+y^2z+z^2x+zx^2+3xyz=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(y^2z+xyz\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+xyz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(x+y\right)+zx\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=0\\\orbr{\begin{cases}y+z=0\\z+x=0\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-y\\\orbr{\begin{cases}y=-z\\z=-x\end{cases}}\end{cases}}}\)

Vậy tồn tại trong 3 số x, y, z có 2 số đối nhau