Trong bảng ô vuông kích thước 8x8 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô bất kì. Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4 ô được đánh dấu không có điểm chung ( hai ô có điểm chung là hai ô chung cạnh hoặc chung đỉnh)

trên bảng ô vuông kích thước 8x8, ta viết các số tự nhiên từ 1-> 64 mỗi số viết vào một ô một cách tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 ô vuông chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 5 (chứng minh theo nguyên lý Dirichlet)

 Một hình vuông có cạnh 4 cm được chia thành 16 ô vuông có cạnh 1 cm, Trong 13 ô vuông đánh dấu (+),  3 ô vuông đánh dấu (-). Những ô vuông có thể thay đổi đồng thời đổi dấu theo hàng, theo cột hoặc đường chéo. Có khả năng sau một số lần đổi dấu theo nguyên tắc trên dẫn đến tất cả các ô vuông đều có dấu (+) không ? 

Cho bảng ô vuông kích thước \(10\times10\) gồm 100 ô vuông đơn vị. Điền vào mỗi ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.

Mỗi ô vuông của bảng kích thước 10x10 ( 10 dòng, 10 cột ) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kì 2 số nào ghi trong 2 ô chung 1 cạnh hoặc 2 ô chung 1 đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.

Cho đoạn AB và O là trung điểm của nó, xét 2n điểm trên AB sao cho chúng chia thành n-cặp đối xứng nhau qua O. Người ta đánh dấu đỏ cho n điểm bất kì ( trong 2n điểm đang xét ) và đánh dấu xanh cho n điểm còn lại. Chứng minh rằng: tổng các khoảng cách từ A đến các điểm đánh dấu đỏ bằng tổng các khoảng cách từ B đến các điểm đánh dấu xanh.

Cho đoạn AB và O là trung điểm của nó, xét 2n điểm trên AB sao cho chúng chia thành n-cặp đối xứng nhau qua O. Người ta đánh dấu đỏ cho n điểm bất kì ( trong 2n điểm đang xét ) và đánh dấu xanh cho n điểm còn lại. Chứng minh rằng: tổng các khoảng cách từ A đến các điểm đánh dấu đỏ bằng tổng các khoảng cách từ B đến các điểm đánh dấu xanh.

Dấu - trong câu sau có tác dụng gì: - Bác Tủ gỗ ơi, nước có hình gì bác nhỉ?. A) Đánh dấu các ý, B) Đánh dấu chú thích, C) Đánh dấu chỗ bắt đầu lời nói, D) Ca ba ý trên