Cho: \(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{2018}{3^{2018}}\). CMR: A ko là số nguyên
HHEELLPP MMEE!!!
CHO \(A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.....\frac{1}{2018^2}\)
CMR : A KO LÀ SỐ TỰ NHIÊN
mệt !
mik đăng lên bởi mik ko biết làm
bn nói vậy mình ko hỉu
làm giúp mik ik
mik đag cần bài này để ôn thi !
ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{2018^2}< \frac{1}{2017.2018}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2018^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2017.2018}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)
\(=1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2018^2}< \frac{2017}{2018}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2018^2}\) không phải số tự nhiên
\(\Rightarrow1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2018^2}\right)\) là hỗn số
\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2018^2}\) không phải số tự nhiên ( đ p c m)
cho S=\(\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+...+\frac{2018}{4^{2018}}\)CMR: S<\(\frac{1}{2}\)
CMR: D=\(\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{4}{4^4}+.....+\frac{2018}{4^{2018}}+\frac{2019}{4^{2019}}< \frac{1}{2}\)
Lời giải:
$D=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+......+\frac{2018}{4^{2018}}+\frac{2019}{4^{2019}}$
$4D=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+....+\frac{2018}{4^{2017}}+\frac{2019}{4^{2018}}$
Trừ theo vế:
\(3D=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+....+\frac{1}{4^{2018}}-\frac{2019}{4^{2019}}\)
\(\Rightarrow 12D=4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{4^{2017}}-\frac{2019}{4^{2018}}\)
Trừ theo vế:
$9D=4-\frac{2019}{4^{2018}}+\frac{2019}{4^{2019}}-\frac{1}{4^{2018}}$
$=4-\frac{6061}{4^{2019}}< 4$
$\Rightarrow D< \frac{4}{9}<\frac{4}{8}$ hay $D< \frac{1}{2}$ (đpcm)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=2018. CMR\(\frac{a^4+c^4}{a^3+c^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{a^4+b^4}{b^3+a^3}>=2018\)
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge2018\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge a+b+c\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-c\right)}{a^3+b^3}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(a-b\right)\left(\frac{a^3}{c^3+a^3}-\frac{b^3}{b^3+c^3}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\frac{c^3\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\right)\ge0\)
BĐT cuối cùng liếc qua cũng biết thừa đúng :) nên ta có ĐPCM
Dấu "=" <=> a=b=c
Ủng hô va` kb với mình nhé ^^
Bài 1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số sao cho số đó vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương
Bài 2: Cho \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}\)
\(B=\frac{2018}{1}+\frac{2017}{2}+\frac{2016}{3}+...+\frac{2}{2017}+\frac{1}{2018}\)
Hãy so sánh A/B với 1/2018
\(\frac{A}{B}>\frac{1}{2018}\)
so sánh 2 số A và B nếu
\(A=-\frac{1}{2018}-\frac{3}{2017^2}-\frac{5}{2017^3}-\frac{7}{2017^4};B=\frac{-1}{2018}-\frac{7}{2017^2}-\frac{5}{2017^3}-\frac{3}{2017^4}\)
Cho A = 1 - \(\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^3+.......-\left(\frac{3}{4}\right)^{2017}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2018}\)
Chứng minh A không phải là số nguyên
\(\frac{3}{4}A=\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-\left(\frac{3}{4}\right)^4+...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2018}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}\)
\(\frac{3}{4}A+A=\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-\left(\frac{3}{4}\right)^4+...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2018}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1-\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2...\)( Bn tự ghi lại A do máy mình ko đủ độ rộng )
\(\frac{7}{4}A=\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1\)
\(A=\text{ }\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1\right]:\frac{7}{4}\)
\(A=\text{ }\frac{\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1\right].4}{7}\)
=> A là phân số
=> A ko phải số nguyên
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=2018. CMR\(\frac{a^4+c^4}{a^3+c^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{a^4+b^4}{b^3+a^3}>=2018\)
Lời giải:
Xét hiệu:
\(2(a^4+c^4)-(a^3+c^3)(a+c)=2(a^4+c^4)-(a^4+a^3c+ac^3+c^4)\)
\(=a^4+c^4-a^3c-ac^3=(a-c)(a^3-c^3)=(a-c)^2(a^2+ac+c^2)\geq 0\)
với mọi \(a,c>0\)
Do đó: \(2(a^4+c^4)\geq (a^3+c^3)(a+c)\Leftrightarrow \frac{a^4+c^4}{a^3+c^3}\geq \frac{a+b}{2}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\left\{\begin{matrix}
\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}\geq \frac{b+c}{2}\\
\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\geq \frac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\geq \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c=2018\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{2018}{3}$
\(\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge2018\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge a+b+c\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\dfrac{a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-c\right)}{a^3+b^3}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)\left(\dfrac{a^3}{c^3+a^3}-\dfrac{b^3}{b^3+c^3}\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\dfrac{c^3\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\right)\ge0\)
Dễ thấy BĐT cuối luôn đúng nên ta có ĐPCM
Dấu "=" <=> \(a=b=c=\dfrac{2018}{3}\)
CMR:\(1\frac{1}{2^3}+1\frac{1}{3^3}+1\frac{1}{4^3}+...+1\frac{1}{2019^3}< 2018\frac{1}{4}\)
AI NHANH TICK CHO 3TICK LUN