trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA 

xét  \(\Delta AMB\)và \(\Delta DMC\)có :

MB = MC ( gt )

\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\)( hai góc đối đỉnh )

MA = MD ( do cách vẽ )

Suy ra : \(\Delta AMB\)= \(\Delta DMC\)( c.g.c )

Suy ra : AB = AC và \(\widehat{A_1}=\widehat{D}\) \(\Rightarrow\)AB // CD ( vì có cặp góc sole trong bằng nhau )

vì \(AC\perp AB\)( gt ) nên AC \(\perp\)CD ( quan hệ giữa tính song song và vuông góc )

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta CDA\)có :

AB = CD ( chứng minh trên )

\(\widehat{A}=\widehat{C}=90^o\)

AC ( chung )

Vậy \(\Delta ABC\)= \(\Delta CDA\)( c.g.c ) suy ra BC = AD

vì \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)nên \(AM=\frac{BC}{2}\)

Xét tam giác ABC vuông tại A với AB > AC, gọi AH là đường cao kẻ từ A thì ta có:

Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

Chúc thành công

Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

Tam giác vuông ABC, vuông tại A, có AM là trung tuyến 
trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=AM 
Do đó AM=1/2 AD (1) 
suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành, có ^A=90* 
nên ABDC là hình chữ nhật 
suy ra AD=BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có AM = 1/2 BC 
Vậy trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 

Vì tâm đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác với mỗi tam giác chỉ có duy nhất 1 điểm.

Gọi I là trung điểm cạnh huyển BC của tam giác ABC vuông tại A.

Ta sẽ đi chứng minh I là tâm đường tròn đi qua 3 đỉnh tam giác ABC.

Thật vậy, trên tia đối tia IA , ta lấy điểm D sao cho IA=ID .

Vì I là trung điểm BC => IB=IC

Xét tam giác AIB và tam giác CID có:

AI=IC ; BI=ID ; AIB =CID (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác AIB =tam giác CID (c.g.c)

=> AB=CD; IAB = ICD 

Vì IAB =ICD , mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB// CD Mà AB vuông góc với AC

=> CD vuông góc AC => ACD = 90

Xét tam giác BAC và DCA có:

AC chung ; AB=DC ; BAC = DCA =90

=> BAC = DCA(c.g.c)

=> BC = DA 

Mà IB = IC = BC/2;  AI=ID =DA/2

=> IB=IC=IA 

=> I là tâm đường tròn đi qua A,B, C

A

B