Sửa đề cho bạn luôn nhé!

\(\text{Ta có:}\)

\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\)

\(\text{Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với}\) \(a^2+b^2+c^2\ne0\) \((do\) \(a,b,c\ne0\)),\(\text{ ta được:}\)

\(x^2+y^2+z^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\right)\) \(\left(1\right)\)

\(\text{Khi đó, ta khai triển vế phải của}\) \(\left(1\right)\) \(\text{thì} \) \(\left(1\right)\) \(\text{trở thành:}\)

\(VP=x^2+\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{a^2z^2}{c^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}+y^2+\dfrac{b^2z^2}{c^2}+\dfrac{c^2x^2}{a^2}+\dfrac{c^2y^2}{b^2}+z^2\)

\(\text{So sánh vế trái của đẳng thức}\) \(\left(1\right)\), \(\text{ta dễ dàng nhận thấy cả hai vế có cùng đa thức}\) \(x^2+y^2+z^2\) \(\text{nên ta có thể viết lại }\) \(\left(1\right)\) \(\text{như sau:}\)

\(\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{a^2z^2}{c^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}+\dfrac{b^2z^2}{c^2}+\dfrac{c^2x^2}{a^2}+\dfrac{c^2y^2}{b^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(\dfrac{b^2x^2}{a^2}+\dfrac{c^2x^2}{a^2}\right)+\left(\dfrac{c^2y^2}{b^2}+\dfrac{a^2y^2}{b^2}\right)+\left(\dfrac{a^2z^2}{c^2}+\dfrac{b^2z^2}{c^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+\dfrac{y^2}{b^2}\left(c^2+a^2\right)+\dfrac{z^2}{c^2}\left(a^2+b^2\right)=0\) \(\left(2\right)\)

\(\text{Mặt khác, ta cũng có }\) \(a,b,c\ne0\) (gt) nên \(a^2,b^2,c^2\ne0;\) \(a^2+b^2\ne0;\) \(b^2+c^2\ne0\) và \(c^2+a^2\ne0\) \(\left(3\right)\)

\(Từ\) \(\left(2\right)\) \(và\) \(\left(3\right)\),\(\text{ ta dễ dàng suy ra được }\) \(x=y=z=0\)

\(Vậy \) \(x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=0\) \((đpcm)\)

Đk: $x\geq \frac{1}{2}$

Pt $\Leftrightarrow 4x^2+3x-7=4(\sqrt{x^3+3x^2}-2)+2(\sqrt{2x-1}-1)$

$\Leftrightarrow +4\frac{(x-1)(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+4\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}+1}-(x-1)(4x+7)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)[\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-(4x+7)]=0$

$\Leftrightarrow x=1\vee \frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7=0$ $(*)$

Xét hàm số $f(x)=\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7,x\in [\frac{1}{2};+\infty )$ thì $f(x)>0,\forall x\in [\frac{1}{2};+\infty )$

$\Rightarrow $ Pt $(*)$ vô nghiệm

Bài dễ lắm làm đi hỏi làm gì

Lại gặp thánh troll rồi

Có \(y^2+2019=y^2+xy+yz+zx=y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)

\(x^2+2019=x^2+xy+yz+zx=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

\(z^2+2019=z^2+xy+yz+xz=z\left(z+y\right)+x\left(y+z\right)=\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)

Có \(P=x\sqrt{\frac{\left(y^2+2019\right)\left(z^2+2019\right)}{x^2+2019}}+y\sqrt{\frac{\left(z^2+2019\right)\left(x^2+2019\right)}{y^2+2019}}+z\sqrt{\frac{\left(x^2+2019\right)\left(y^2+2019\right)}{z^2+2019}}\)

=\(x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

=\(x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

=\(x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)

=\(x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\) (vì x,y,z >0)

= xy+xz+xy+yz+xz+yz

=2(xy+xz+yz)=2.2019(vì xy+xz+yz=2019)

=4038

Vậy P=4038