Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2020ca-ab-bc trong đó a,b,c là các số thỏa mãn a^2+ b^2+ c^2= 2. Cảm ơn nhiều nha
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức" S=2020ca-ab-bc "trong đó a,b,c là các số thỏa mãn a^2+ b^2+ c^2= 2 giúp mik vs nha. Cảm ơn nhiều
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+b+c+ab+bc+ca với a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)
\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)
\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)
\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)
\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)
\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a / bc + 2b / ca + 5c / ab , trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 6
câu1:
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
P=\(\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}\)
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(^{a^2+b^2+c^2=1}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =ab +bc + ca .
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le2\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2023ca - ab - bc.
Ta có : \(P=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow P+2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow P+2=\left(a+b+c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge-2\)
Vậy MinP = -2 tại a + b + c = 0 .
Dễ thấy:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow P\ge ab+bc+ca=1\)
\(minP=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Cách khác:
Áp dụng BĐT BSC:
\(ab+bc+ca=1\)
\(\Rightarrow1=\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=P^2\)
\(\Rightarrow P\ge1\left(\text{Do }P>0\right)\)
\(minP=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=\(\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\)
Ta có : \(a^2+ab+b^2=\left(a+b\right)^2-ab\ge\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\sqrt{3}\left(a+b\right)}{2}\)
Tương tự : \(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\frac{\sqrt{3}\left(b+c\right)}{2}\) ; \(\sqrt{c^2+ac+a^2}\ge\frac{\sqrt{3}\left(c+a\right)}{2}\)
Suy ra : \(\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ac+a^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.2.\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)
Vậy MIN B = \(\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b+c=1\\a=b=c\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Làm xong nhớ tích cho mình nhé cảm ơn .
cho các số thực âm a , b , c thỏa mãn : a mủ 2 +b mủ 2 + c mủ 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f = ab + bc + 2ca .