Bài 1 :

Nếu n lẻ thì n + 1 chẵn do đó tổng n số tự nhiên liên tiếp là \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\) là số chẵn nên không chia hết cho n vì n là số lẻ

Bài 2 :

Nếu n chẵn thì n + 1 lẻ do đó tổng n số tự nhiên liên tiếp là \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\) là số chẵn nên chia hết cho n vì n là số chẵn 

\(A=n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Tich trên là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮24\) khi đồng thời chia hết cho 3 và 8

+ C/m tích trên chia hết cho 3

Nếu \(n⋮3\Rightarrow A⋮3\)

Nếu n chia 3 dư 1 \(\Rightarrow n-1⋮3\Rightarrow A⋮3\)

Nếu n chia 3 dư 2 \(\Rightarrow n+1⋮3\Rightarrow A⋮3\)

\(\Rightarrow A⋮3\forall n\)

C/m tích trên chia hết cho 8

Do n là số tự nhiên lẻ

Nếu \(n=1\Rightarrow A=0⋮8\)

Nếu \(n\ge3\) => (n-1) và (n+1) chẵn

Đặt \(n=2k+1\left(k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=\)

\(=2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)=\left(4k^2+2k\right)\left(2k+2\right)=\)

\(=8k^3+8k^2+4k^2+4k=8\left(k^3+k^2\right)+4k\left(k+1\right)\)

Với k chẵn đặt \(k=2p\Rightarrow4k\left(k+1\right)=8p\left(2p+1\right)⋮8\)

\(\Rightarrow A=8\left(k^3+k^2\right)+8p\left(2p+1\right)⋮8\)

Với k lẻ đặt \(k=2p+1\Rightarrow4k\left(k+1\right)=4\left(2p+1\right)\left(2p+1+1\right)=\)

\(4\left(2p+1\right)2\left(p+1\right)=8\left(2p+1\right)\left(p+1\right)⋮8\)

\(\Rightarrow A⋮8\forall n\)

\(\Rightarrow A⋮3x8\forall n\Rightarrow A⋮24\forall n\)

Cặp \(m=2\) , \(n=1\) vẫn thỏa \(m^2-2020n^2+2022⋮mn\)

Để chứng minh rằng m và n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau, ta cần thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Giả sử rằng m và n là hai số tự nhiên thỏa mãn m^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho mn.

Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng m và n là hai số lẻ.

Giả sử rằng m là số chẵn, tức là m = 2k với k là một số tự nhiên. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có:

(2k)^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn

Simplifying the equation, we get:

4k^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn

Dividing both sides by 2, we have:

2k^2 - 1010n^2 + 1011 chia hết cho kn

Do 2k^2 chia hết cho kn, vì vậy 2k^2 cũng chia hết cho kn. Từ đó, 1011 chia hết cho kn.

Bởi vì 1011 là một số lẻ, để 1011 chia hết cho kn, thì kn cũng phải là một số lẻ. Vì vậy, n cũng phải là số lẻ.

Do đó, giả sử m là số chẵn là không hợp lệ. Vậy m phải là số lẻ.

Bước 3: Chứng minh rằng m và n là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử rằng m và n không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều đó có nghĩa là tồn tại một số nguyên tố p chia hết cả m và n.

Vì m là số lẻ, n là số lẻ và p là số nguyên tố chia hết cả m và n, vì vậy p không thể chia hết cho 2.

Ta biểu diễn m^2 - 2020n^2 + 2022 dưới dạng phân tích nhân tử:

m^2 - 2020n^2 + 2022 = (m - n√2020)(m + n√2020)

Vì p chia hết cả m và n, p cũng phải chia hết cho (m - n√2020) và (m + n√2020).

Tuy nhiên, ta thấy rằng (m - n√2020) và (m + n√2020) không thể cùng chia hết cho số nguyên tố p, vì chúng có dạng khác nhau (một dạng có căn bậc hai và một dạng không có căn bậc hai).

Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó giả sử ban đầu là sai.

Vậy ta có kết luận rằng m và n là hai số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau.

n³-n=n(n²-1)=(n-1)n(n+1)

Ta có trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có 1 số chia hết cho 3 nên n³-n chia hết cho 3.

Vì n lẻ => n-1 và n+1 chia hết cho 2

Vì n lẻ => n = 4k+1 hoặc 4k + 3

Với n = 4k + 1 => n-1 =4k chia hết cho 4, n+1=4k+2 chia hết cho 2

=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24

Với n = 4k + 3 => n-1 = 4k+2 chia hết cho 2, n+ 1 = 4(k+1) chia hết cho 4

=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24

Vậy n³-n chia hết cho 24 với n lẻ, n ∈ N

\(\Rightarrow n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) (*)

(*) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow n^3-n⋮3\left(1\right)\)(1)

Vì n  là số lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\) Thay vào (*) ta được:

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+1\right)=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\) k(k+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) tồn  tại 1 số chia hết cho 2 \(\Rightarrow k\left(k+1\right)⋮2\Rightarrow4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮8\Rightarrow n^3-n⋮8\)(2)

Từ (1) và (2) kết hợp với (3;8)=1 \(\Rightarrow n^3-n⋮24\)

Đặt \(A=n^4-10n^2+9\)

\(n^4-n^2-9\left(n^2-1\right)=n.n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3

\(\Rightarrow A⋮3\)

Lại có: \(A=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Do n lẻ, đặt \(n=2k+1\)

\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 8

\(\Rightarrow A⋮\left(16.8\right)\Rightarrow A⋮128\)

Mà 3 và 128 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮\left(128.3\right)\Rightarrow A⋮384\)