Cách khác nhé!
Cộng từng vế của các pt trên lại ta được

\(3\left(x_1+x_2+x_3+...+x_{10}\right)=30\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+...+x_{10}=10\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+x_3\right)+\left(x_4+x_5+x_6\right)+\left(x_7+x_8+x_9\right)+x_{10}=10\)

\(\Leftrightarrow3+3+3+x_{10}=10\)

\(\Leftrightarrow x_{10}=1\)

Viết lại pt (*) ta được

\(\left(x_{10}+x_1+x_2\right)+\left(x_3+x_4+x_5\right)+\left(x_6+x_7+x_8\right)+x_9=10\)

\(\Leftrightarrow3+3+3+x_9=10\)

\(\Leftrightarrow x_9=1\)

Chứng minh tương tự cuối cùng được \(x_1=x_2=x_3=...=x_{10}=1\)

Vậy .............

Ta có:x1+x2+x3=x2+x3+x4=3

\(\Rightarrow\)x4-x1=0\(\Leftrightarrow\)x1=x4

cmtt ta có x1=x2=x3=...=x10

\(\Rightarrow\)x1=x2=x3=...=x10=1

"." nhẹ hóng cao nhân :)) 

???????????????........................................

đây mà là toán lớp 1

ĐK:1\(\ge\)x\(\ge\)-1

+) Với x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ 

Từ (1) suy ra x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ =1/2000 (thay vào (2) thỏa mãn)

+) Với x₁<x₂<...<x₂₀₀₀ ( trường hợp còn lại chắc cũng giống vậy)

Từ (1) suy ra:

VT>2000.\(\sqrt{1+x_1}\)<=> \(\sqrt{\frac{2001}{2000}}\)>\(\sqrt{1+x_1}\)<=>x₁<1/2000(1)

Từ (2) suy ra:

VT<2000.\(\sqrt{1+x_1}\)<=>\(\sqrt{\frac{1999}{2000}}\)<\(\sqrt{1-x_1}\) <=>x₁>1/2000(2)

Từ (1) và (2) cho thấy x₁<x₂<...<x₂₀₀₀ không xảy ra 

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ =1/2000

Cảm ơn nhiều nha Lê Hồ Trọng Tín , cách giải rất hay . Mk có cách này, cũng gần tương tự(p/s nhà mk đã đủ gạch đá r nên k dám nhận nữa đâu ( v￣▽￣)   )

Điều kiện \(-1\le x_n\le1\) với mọi \(n=1,2,3,...,2000\)

Khi đó :

\( \left(1\right)\Leftrightarrow2000.2001=\left(\sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}+...+\sqrt{1+x_{2000}}\right)^2\)

                     \(\le\left(1+1+...+1\right)\left(1+x_1+1+x_2+...+1+x_{2000}\right)\)( bất đẳng thức bunyakovsky)

                     \(=2000\left(2000+x_1+x_2+...+x_{2000}\right)\)

           \(\Leftrightarrow1\le x_1+x_2+...+x_{2000}\)

Khi đó :

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2000.1999\le\left(1+1+...+1\right)\left(1+1+...+1-x_1-x_2-...-x_{2000}\right)\)

        \(\Leftrightarrow x_1+x_2+...+x_{2000}\le1\)

Do đó \(\hept{\begin{cases}1+x_1=1+x_2=...=1+x_{2000}\\1-x_1=1-x_2=...=1-x_{2000}\\x_1+x_2+...+x_{2000}=1\end{cases}\Leftrightarrow_{ }}x_1=x_2=...=x_{2000}=\frac{1}{2000}.\)

Akai Haruma dạ nhờ giáo viên giúp em bài này ạ.

Akai Haruma dạ giúp em bài này với ạ !!!

Akai Haruma

x₁+x₂+x₃+...+x₂₀₀₈=2008

\(\Leftrightarrow\)(x₁-1)+(x₂-1)+(x₃-1)+...+(x₂₀₀₈-1)=0 (1)

x³₁+x³₂+x³₃+...+x³₂₀₀₈=x⁴₁+x⁴₂+x⁴₃+...+x⁴₂₀₀₈

Lấy vế phải trừ vế trái ta được :

x³₁(x₁-1)+x³₂(x₂-1)+x³₃(x₃-1)+...+x³₂₀₀₈(x₂₀₀₈-1)=0 (2)

Lấy (1) (2) rồi đặt nhân tử chung là ra cái này

(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)=0

Ta thấy (x³₁-1)(x₁-1) = (x₁-1)(x²₁+x₁+1)(x₁-1) = (x₁-1)²(x²₁+x₁+1)\(\ge\)0 Với mọi x

CMTT : (x₂³-1)(x₂-1) \(\ge\)0 Với mọi x

.............................................

(x₂₀₀₈³-1)(x₂₀₀₈-1) \(\ge\)0 Với mọi x

\(\Rightarrow\)(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)\(\ge\)0

Mà(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)=0

Đến đây bạn tự suy ra x₁=1; x₂=1;...;x₂₀₀₈=1 nhé!

Mình hơi bận nên không giải tiếp được bán nhé!

Mong bạn thông cảm

@ Nguyên Công Thành

Dễ

ĐK: \(x,y\ne0\)

\(pt\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\)

Do vai trò của x,y như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\Rightarrow\frac{3}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)

\(\Rightarrow3y\le4\Rightarrow y=1\)(vì \(y\inℕ^∗\))

Lúc đó thì \(1+\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\)(tm)

Vậy có hai cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn \(\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)

Vậy còn x<y thì sao???

Bài 2 : ĐKXĐ : \(x;y\ne0\)

 \(\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{3}{2}-\frac{1}{y}=\frac{3y-2}{2y}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{2y}{3y-2}\Leftrightarrow3x=\frac{6y}{3y-2}=\frac{2\left(3y-2\right)+4}{3y-2}\)

\(\Leftrightarrow3x=2+\frac{4}{3y-2}\Leftrightarrow3x-2\inƯ_{\left(4\right)}=\left\{1;2;4\right\}\)( vì \(x;y\in N\))

\(\Leftrightarrow3x\in\left\{3;4;6\right\}\)\(\Leftrightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)( lại loại tiếp trường hợp \(x=\frac{4}{3}\)do KTM )

\(x=1\Leftrightarrow y=2;x=2\Leftrightarrow y=1\)