Ta có: $1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Nên $1+2+3+...+n>0⇔\dfrac{n(n+1)}{2}>100$

$⇔n(n+1)>200$

với $n=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13$ khi thay vào ta thấy $n(n+1)<200$

nên loại 

với $n=14⇒n(n+1)=14.15=210>200$ chọn

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất là 14 thỏa mãn đề

( n + 1 ) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) + ... + ( n + 100 ) = 5750

n . 100 + 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5750

n . 100 + ( 100 + 1 ) . ( [100 - 1] : 1 + 1 ) : 2 = 5750

n . 100 + 5050 = 5750

n . 100 = 5750 - 5050

n . 100 = 700

n = 700 : 100

n = 7

(n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + ... + (n + 100) = 5750

n.100 + 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5750

n.100 + (100 + 1) . ([100 - 1] : 1 + 1) : 2 = 5750

n.100 + 5050 = 5750

n.100 = 700

n = 700 : 100

n = 7

vậy_

(n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + ... + (n + 100) = 5750

=> (n + n + n + ... + n) + (1 + 2 + 3 + ... + 100) = 5750

        có 100 số n               có 100 số hạng

=> 100n + (1 + 100) . 100 : 2 = 5750

=> 100n + 101 . 100 : 2 = 5750

=> 100n + 10100 : 2 = 5750

=> 100n + 5050 = 5750

=> 100n = 5750 - 5050

=> 100n = 700

=> n = 700 : 100

=> n = 7

Vậy n = 7

(n+1) + (n+2) + (n+3) +...+(n+100)

 =100n + (1+2+3+...+100)

=100n + {[(100-1)+1]:2}x(100+1)

=100n + 50 x 101

=100n + 5050

đến đây phải có giá trị của cả tổng (n+1) + (n+2) + (n+3) +...+(n+100) mới tìm đc

n.(1+2+3+..100)

n.5050

rồi sao nữa

\(n^{100}+5⋮10\)

\(\Rightarrow n^{100}+5=...0\)

\(\Rightarrow n^{100}=...5\)

\(\Rightarrow n^{100}⋮5\)

\(\Rightarrow n⋮5\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;5;10;15;.....\right\}\)

n=19.............................

Giữa 100 số tự nhiên lẻ cũng có 100 số tự nhiên chẵn 
=> Khoảng cách số đầu và cuối là 200 
Khoảng cách 2n và n là 2n-n =n 
=> n=200

Gỉa sữ n = 100 thì 2n = 100 x 2 = 200 

mà n lại là số lẻ nên suy ra n = 200 - 1 = 199

Vậy n = 199

giả sử n = 100 thì 2n = 100 x 2 = 200 

mà n lại là số lẻ nên suy ra n = 200 - 1 = 199

Vậy n = 199

n × (n + 1) = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100

=> n × (n + 1) = (100 + 2).50 : 2

=> n × (n + 1) = 102.50 : 2

=> n × (n + 1) = 51 × 50

=> n = 50

vậy_

n × (n + 1) = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100

\(\Rightarrow\) n × (n + 1) = (100 + 2).50 : 2

\(\Rightarrow\) n × (n + 1) = 102.50 : 2

\(\Rightarrow\) n × (n + 1) = 51 × 50

\(\Rightarrow\) n = 50