a) Do tam giác AEB vuông cân tại A nên \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAB}=90^o\\AE=AB\end{matrix}\right.\)

Ta thấy \(\widehat{MEA}=\widehat{BAH}\) vì chúng cùng phụ với \(\widehat{EAM}\)

Xét 2 tam giác HAB vuông tại H và MEA vuông tại M, ta có:

\(AE=AB\left(cmt\right),\widehat{MEA}=\widehat{BAH}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HAB=\Delta MEA\left(ch-gn\right)\) \(\Rightarrow AH=ME\)     (1)

Tương tự, ta cũng có \(\Delta HAC=\Delta NFA\Rightarrow HC=AN\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EM+HC=AH+AN\) hay \(EM+HC=HN\) (đpcm)

b) Từ \(\Delta HAC=\Delta NFA\Rightarrow AH=NF\)

Từ đó suy ra \(ME=NF\left(=AH\right)\)

Xét tam giác MNE và NMF, ta có:

\(ME=NF\left(cmt\right),\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\left(=90^o\right)\), MN là cạnh chung.

\(\Rightarrow\Delta MNE=\Delta NMF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ENM}=\widehat{FMN}\) \(\Rightarrow\) EN//FM (2 góc so le trong bằng nhau)

Ta có đpcm.

Bài 1

\(3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n\left(n+1\right)=\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+n.\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]=\)

\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-...-\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\Rightarrow A=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Bài 2

a/

Xét tg vuông AEM có

\(\widehat{EAM}+\widehat{AEM}=90^o\)

Ta có

\(\widehat{EAM}+\widehat{BAH}=\widehat{MAH}-\widehat{BAE}=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{BAH}\)

Xét tg vuông AEM và tg vuông BAH có

\(\widehat{AEM}=\widehat{BAH}\)

AE=AB (cạnh bên tg cân)

=> tg AEM = tg BAH (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow EM=AH\) (1)

Xét tg vuông ANF có

\(\widehat{FAN}+\widehat{AFN}=90^o\)

Ta có

\(\widehat{FAN}+\widehat{CAH}=\widehat{NAH}-\widehat{FAC}=180^o-90^o=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AFN}=\widehat{CAH}\)

Xét tg vuông AFN và tg vuông CAH có

\(\widehat{AFN}=\widehat{CAH}\)

AF=AC (cạnh bên tg cân)

=> tg AFN = tg CAH (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => HC=AN (2)

Từ (1) và (2) => EM+HC=AH+AN=NH

b/

Ta có

tg AFN = tg CAH (cmt) => FN=AH

Mà EM=AH (cmt)

=> EM=FN

\(EM\perp AH\left(gt\right);FN\perp AH\left(gt\right)\) => EM//FN (cùng vuông góc với AH)

=> ENFM là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

=> EN//FM (trong hbh (2 cạnh đối // với nhau)

a.a. Ta có :

ΔAHB=ΔEMA(ch−gn)ΔAHB=ΔEMA(ch−gn)

AHBˆ=EMAˆ=(900)AHB^=EMA^=(900)

AB=AE(gt)AB=AE(gt)

ΔBAH=ΔAEMΔBAH=ΔAEM ( cùng phụ với ΔMAEΔMAE )

⇒EM=AH(1)⇒EM=AH(1)EM = AH (1)

Tương tự:

ΔAHC=ΔFNA(ch−gn)ΔAHC=ΔFNA(ch−gn)

⇒HC=NA(2)⇒HC=NA(2)

Từ (1)(1) và (2)(2) ⇒EM+HC=AH+NA=NH⇒EM+HC=AH+NA=NH

b) Từ ΔAHC=ΔFNAΔAHC=ΔFNA

⇒AH=NF(3)⇒AH=NF(3)

Từ (1)(1) và (3)(3)EM=MFEM=MF

Mặt khác : EM // NF ( cùng vuông góc với AH )

Ta suy ra : EN // FM

Xét ∆AHB,∆EMA có :

^AHB = ^EMA = 90^o

AB = AE (gt)

^BAH = ^AEM (vì cùng phụ với ^MAE)

Do đó : ∆AHB = ∆EMA (Ch - Gn)

=> EM = AH (1)

Cmtt ta cũng có : ∆AHC = ∆FNA (Ch-Gn)

=> HC = NA (2)

Từ (1)(2) => EM + HC = AH + NA

              => EM + HC = NH (A nằm giữa H,N)

b) Có : EM _|_ AH

            FN _|_ AH

=> EM // FN

a) +)Xét tam giác EMA vuông tại M

=>góc MEA + góc MAE = 90⁰(Định lí tổng 2 góc nhọn trong 1 tam giác vuông) (1)

+) Ta có: góc MAE +  góc EAM + góc HAB = 180⁰

=> góc MAE + 90⁰ + góc HAB = 180⁰

=>góc MAE + góc HAB = 180⁰(2)

Từ(1) và (2) => góc MEA= góc HAB (3)

+)Xét tam giác MEA và tam giác HAB có:

góc MEA = góc HAB(cm3)

AE=AB(vì tam giác ABE cân tại A)

góc EMA = góc AHB = 90⁰

=>tam giác MEA= tam giác HAB(cạnh huyền-góc nhọn)

=> EM=AH(2 cạnh tương ứng) (4)

Tương tự chứng minh tam giác AHC= tam giác FNA(ch-gn)(6)

=>AN=HC(2 cạnh tương ứng) (5)

Từ (4) và (5) =>EM+HC=AN+AH

=>EM+HC=NH(đpcm)

b) +)Ta co: tam giác AHC=tam giác FNA (cm6)

=>AH=FN(2 cạnh tương ứng)(7)

từ (4) và (7)=>EM=FN(8)

+)Xét tam giác NEM và tam giác MFN có:

EM=FN(cm8)

góc EMN=góc FNM=90⁰

MN là cạnh chung

=>tam giác NEM= tam giác MFN(cgc)

=>EN=FM(2 cạnh tương ứng)