Tham khảo nha : Cho một số tự nhiên chia hết cho 11 gồm bốn chữ số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng có thể đổi vị trí các chữ số để đọc được 7 số mới chia hết...- Mạng Giáo Dục Pitago.Vn – Giải pháp giúp em học toán vững vàng!

Chúc học tốt 

Xét n+ 1 số sau: a1=5 ;a2 =55;...;an+1 =55 5... ( n+1 chữ số 5).
Theo nguyên lý Dirichlet : với n+1 số trên ắt tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho n. Hiệu
của hai số này là số có dạng: 55…50…0 gồm toàn chữ số 5 và chữ số 0 và chia hết cho n.
Đó là điều phải chứng minh!  Bổ sung thêm công thức nhé: n+1=n.1+1 => tồn tại 1+1=2 số có cùng số dư khi chia cho n.( Vì có n số dư tính từ 0 đến n-1).

Xét n+ 1 số sau: a1=5 ;a2 =55;...;an+1 =55 5... ( n+1 chữ số 5).
Theo nguyên lý Dirichlet : với n+1 số trên ắt tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho n. Hiệu
của hai số này là số có dạng: 55…50…0 gồm toàn chữ số 5 và chữ số 0 và chia hết cho n.
Đó là điều phải chứng minh!  Bổ sung thêm công thức nhé: n+1=n.1+1 => tồn tại 1+1=2 số có cùng số dư khi chia cho n.( Vì có n số dư tính từ 0 đến n-1).

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a; a+1 và a+2

TH1: Nếu a chia hết cho 3 => Đề bài đúng

TH2: Nếu a chia 3 dư 1 => a= 3k +1 (k thuộc N)

=> a+2 = 3k+1+2= 3k+3=3(k+1) chia hết cho 3 => a+2 chia hết cho 3 => Đề bài đúng

TH3: Nếu a chia 3 dư 2 => a=3k +2 (k thuộc N)

=> a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 = 3(k+1) chia hết cho 3 => a+1 chia hết cho 3 => Đề bài đúng

TH1 , TH2 , TH3 => Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 (ĐPCM)

Bài 5:

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là b; b+1; b+2 và b+3

Tổng 4 số: b + (b+1) + (b+2) + (b+3) = (b+b+b+b) + (1+2+3) = 4b + 6 = 4(b+1) + 2

Ta có: 4(b+1) chia hết cho 4 vì 4 chia hết cho 4

Nhưng: 2 không chia hết cho 4

Nên: 4(b+1)+2 không chia hết cho 4

Tức là: b+(b+1)+(b+2)+(b+3) không chia hết cho 4 

Vậy: Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 (ĐPCM)

Bài 3: 

\(\overline{7a4b}\) ⋮ 4 ⇒ \(\overline{4b}\)⋮ 4 ⇒ b = 0; 4; 8

Nếu b = 0 ta có: \(\overline{7a40}\)⋮ 7 

⇒ 7040 + a \(\times\) 100 ⋮ 7

1005\(\times\) 7+ 5 + 14a + 2a ⋮ 7 

        5 + 2a ⋮ 7 ⇒ 2a = 2; 9; 16⇒ a = 1; \(\dfrac{9}{3}\);8 (1)

Nếu b = 8 ta có: \(\overline{7a4b}\) = \(\overline{7a48}\)⋮ 7 

⇒ 7048 + a\(\times\) 100 ⋮ 7

1006\(\times\) 7 + 6 + 14a + 2a ⋮ 7

       6 + 2a ⋮ 7 ⇒ 2a = 1; 8; 15 ⇒ a = \(\dfrac{1}{2}\); 4; \(\dfrac{15}{2}\) (2)

Nếu b = 4 ta có: \(\overline{7a4b}\)  =  \(\overline{7a44}\) ⋮ 7

⇒ 7044 + 100a ⋮ 7

1006.7 + 2 + 14a + 2a ⋮ 7 

       2 + 2a ⋮ 7 ⇒ 2a = 5; 12;19 ⇒ a = \(\dfrac{5}{2}\); 6; \(\dfrac{9}{2}\) (3)

Kết hợp (1); (2); (3) ta có:

(a;b) = (1;0); (8;0); (4;8); (6;4)

xét 2000 số 1;11;111;1111;...;11111...1(2000 số 1).

trong 2000 số đó sẽ có 2 số chia 1999 có cùng số dư theo nguyên lý direchlet

gọi 2 số đó là 111...1(m chữ số ) và 11...1(n chữ số )

=>111...1(m chữ số )-11...1(n chữ số )=111...1000...0 chia hết cho 1999(m-n chữ số 1;n chữ số 0)

=>đpcm

trả lời thế vẫn chưa đầy đủ đâu nguyen thieu cong thanh à.

Xet 2000 so 1 ; 11;111;1111;....;11111...1   [2000so1].

trong 200 so do se co hai so chia 1999 co cung so du theo nguyen li direchlet

Các số có 2 chữ số chia hết cho 17 :

{ 17 ; 34 ; 51 ; 68 ; 85 }

Tổng 3 lần chữ số hàng chục và 2 lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 17 :

17 = 1 x 3 + 7 x 2 = 17 ( đúng )

34 = 3 x 3 + 4 x 2 = 17 ( đúng ) 

....

 vậy số cần tìm là :

{ 17 ; 34 ; 68 ; 85 }

Có đến 4 số thỏa mãn đề bài . 

Vậy điều kiện đã được chứng minh . 

Các số có 2 chữ số chia hết cho 17 là : {17;34;51;68;85}

Tổng của 3 lần chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17 là :

17 = 1 x 3 + 7 x 2 = 17 (đúng)

34 = 3 x 3 + 4 x 2 = 17 (đúng)

Tương tự : ...

...

Vậy số cần tìm là : 

{17;34;68;35}

Thật kì diệu là 17;34 có chung kết quả và 68;35 có chung kết quả