Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x^3 là một số nguyên dương và biết f(5) -f(3) = 2010 . Chứng minh rằng : f(7) - f(1) là hợp số
:< help mí i need it pls
cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số x3 là 1 số nguyên dương và f(5)-f(3)=2022 chứng minh rằng f(7)-f(1) là hợp số
Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\inℤ^+\right)\)
\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)
\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\)
\(\Rightarrow f\left(5\right)-f\left(3\right)=98a+16b+2c\)
Mà \(f\left(5\right)-f\left(3\right)=2022\) nên \(98a+16b+2c=2022\)
\(\Leftrightarrow49a+8b+c=1011\)
Lại có \(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)
\(f\left(1\right)=a+b+c+d\)
\(\Rightarrow f\left(7\right)-f\left(1\right)=342a+48b+6c\) \(=6\left(57a+8b+c\right)\) \(=6\left(8a+1011\right)\) (vì \(49a+8b+c=1011\))
Mà do \(a\inℤ^+\) nên \(f\left(7\right)-f\left(1\right)\) là hợp số (đpcm)
công thức tổng quát: f(x)=x3 sdasdasdadasd
Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết f(5)-f(3)=2014.Cmr: f(7)-f(1) là hợp số
Cho đa thức bậc 3 f(x) với hệ số của x3 là số nguyên dương và f(5) - f(3) = 2010. CMR f(7) - f(1) là hợp số
cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x^3 là 1 số nguyên dương và biết f(5)-f(3)=2015. CM: f(7)-f(1) là hợp số
mọi người giúp mình vs!
Cho \(f\left(x\right)\)bậc 3 với hệ số của \(x^3\)là số nguyên dương biết \(f\left(5\right)-f\left(3\right)=2010\)chứng minh rằng: \(f\left(7\right)-f\left(1\right)\)là hợp số
cho đa thức bậc 3 f(x) = ax3 +bx2 + cx +d với a là số nguyên dương. Biết rằng f(5) - f(4) = 2020. CMR: f(7) - f(2) là hợp số
Cho f(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên. Chứng minh rằng f(x) chia hết cho 7 với mọi x thì từng hệ số của f(x) chia hết cho 7
Gọi \(P\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
Theo bài ta có : \(P\left(x\right)⋮7\Rightarrow\hept{\begin{cases}P\left(0\right)⋮7\\P\left(1\right)⋮7\\P\left(-1\right)⋮7\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}e⋮7\\a+b+c+d+e⋮7\\a-b+c-d+e⋮7\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c+d⋮7\\a-b+c-d⋮7\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+c⋮7\\b+d⋮7\end{cases}}\)
Mặt khác ta có : \(P\left(2\right)=16a+8b+4c+d+e⋮7\)
\(\Leftrightarrow2a+b+4c+d⋮7\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+c\right)+b+d+2c⋮7\)
\(\Leftrightarrow2c⋮7\Leftrightarrow c⋮7\Leftrightarrow a⋮7\)
Chứng minh tương tự thì ta có \(a,b,c,d,e⋮7\). Ta có đpcm.
Cho f(x) là đa thức bậc 3 với hệ số cao nhất là số nguyên dương. Biết rằng f(2017)=2018 và f(2018)=2019. Chứng minh f(2019)-f(2016) là hợp số
Lời giải:
Sử dụng công thức nội suy Newton:
$f(x)=a_1+a_2(x-2017)+a_3(x-2017)(x-2018)+a_4(x-2017)(x-2018)(x-t)$ với $a_4$ nguyên dương, $a_1,a_2, a_3, t$ bất kỳ.
Ta có:
$f(2017)=a_1=2018$
$f(2018)=a_1+a_2=2019$
$\Rightarrow a_2=1$. Thay giá trị $a_1,a_2$ vào lại $f(x)$ thì:
$f(x)=x+1+a_3(x-2017)(x-2018)+a_4(x-2017)(x-2018)(x-t)$
Do đó:
$f(2019)=2020+2a_3+2a_4(2019-a)$
$f(2016)=2017+2a_3+2a_4(2016-a)$
$\Rightarrow f(2019)-f(2016)=3+6a_4\vdots 3$ với mọi $a_4$ nguyên dương.
Cũng dễ thấy $3+6a_4>3$ với mọi $a_4$ nguyên dương
Do đó $f(2019)-f(2016)$ là hợp số (đpcm)
Cho đa thức f(x)= ax3+bx2+cx+d với a là số nguyên dương, biết f(5)-f(4)= 2019, Chứng minh f(7)-f(2) là hợp số
Ta có:
\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)
\(f\left(4\right)=64a+16b+4c+d\)
\(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)
\(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d\)
Xét:
\(f\left(5\right)-f\left(4\right)=125a+25b+5c+d-64a-16b-4c-d\)
\(=61a+9b+c=2019\)
Khi đó:
\(f\left(7\right)-f\left(2\right)=343a+49b+7c+d-8a-4b-2c-d\)
\(=335a+45b+5c=5\left(61a+9b+c\right)+30=5\cdot2019+30⋮5\)
Vậy ta có đpcm
không ra được đâu, 335 không chia hết cho 61, 5.61=305 chứ không phải bằng 335
* Ta có A(x)=ax^3+bx^2+cx+d
=>A(5)=125a+25b+5c+d
A(4)=64a+16b+4c+d
A(7)=343a+49b+7c+d
A(2)=8a+4b+2c+d
+)Có A(5)-A(4)=(125a+25b+5c+d)-(64a+16b+4c+d)
=>A(5)-A(4)=61a+9b+c
+) Xét A(7)-A(2)=(343a+49b+7c+d)-(8a+4b+2c+d)
=>A(7)-A(2)=335a+45b+5c
=(61a+9b+c).5+30a
=(2022.5+30a) chia hết cho 2
Vì a thuộc Z+ nên 2022.5+30a>2 nên A(7)-A(2) là hợp số