\(x^2+2xy+7.\left(x+y\right)+2y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y^2\right)+7.\left(x+y\right)+\dfrac{49}{4}+y^2-\dfrac{9}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)=\dfrac{9}{4}-y^2\)

\(Do\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{9}{4}-y^2\ge0\Rightarrow y^2\le\dfrac{9}{4}\)

Mà y nguyên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2\\\\y^2=1\end{matrix}\right.=0\)

Thay vào phương trình đầu: 

Với \(y=0\Rightarrow x^2+7x+10=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\\\\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Với \(y=1\Rightarrow x^2+9x+19=0\Rightarrow\) không có x nguyên

Với \(y=-1\Rightarrow x^2+5x+5=0\Rightarrow\) không có x nguyên

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+8\left(x-y\right)+16=3-2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+8\left(x-y\right)+16=3-2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+4\right)^2=3-2y^2\) (1)

Do \(\left(x-y+4\right)^2\ge0;\forall x,y\)

\(\Rightarrow3-2y^2\ge0\Rightarrow y^2\le\dfrac{3}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=\left\{-1;0;1\right\}\)

- Với \(y=-1\) thay vào (1):

\(\left(x+5\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5=1\\x+5=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=-6\end{matrix}\right.\)

- Với \(y=1\) thay vào (1):

\(\Rightarrow\left(x+3\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=1\\x+3=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-4\end{matrix}\right.\)

- Với \(y=0\)

\(\Rightarrow\left(x+4\right)^2=3\) (ko có nghiệm nguyên do 3 ko phải SCP)

\(3xy+x+15y-44=0\)

\(3y\left(x+5\right)+\left(x+5\right)-49=0\)

\(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

Vì x;y là số nguyên \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+5\in Z\\3y+1\in Z\end{cases}}\)

Có \(\left(x+5\right)\left(3y+1\right)=49\)

\(\Rightarrow\left(x+5\right)\left(3y+1\right)\in\text{Ư}\left(49\right)=\left\{\pm1;\pm7;\pm49\right\}\)

b tự lập bảng nhé~

Ta viết phương trình về dạng: \(2x^2-\left(2y-1\right)x+\left(2y^2+y-10\right)=0\)

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x thì \(\Delta_x=\left(2y-1\right)^2-8\left(2y^2+y-10\right)=-12y^2-12y+81\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\Delta_x\ge0\)hay \(-12y^2-12y+81\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{-1-2\sqrt{7}}{2}\le y\le\frac{-1+2\sqrt{7}}{2}\)mà y nguyên nên \(-3\le y\le2\)

Lập bảng:

Vậy phương trình có 4 cặp nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)=\left\{\left(2,0\right);\left(0,2\right);\left(-1,-3\right);\left(-3;-1\right)\right\}\)

Ta có: \(2x^2+2y^2-x-y-2xy+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}^2\right)=0\)

Nhận xét \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=\frac{1}{2}}\)

           \(x^2-2xy+2y^2-2x+6y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x\left(y+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-y-1=0\\y+2=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)

\(\frac{ }{ }\)

\(x^2-2xy+2y^2-2x+6y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)-2\left(x-y\right)+1+y^2+4y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y-1=0\\y+2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)