Toán Đội Tuyển đúng ko bạn???

Lời giải:

Một số chính phương khi chia cho 3 có dư 0 hoặc 1 (2 loại số dư). Mà có 3 số $A,B,C$ nên theo nguyên lý Đi-rích-lê thì tồn tại $[\frac{3}{2}]+1=2$ số có cùng số dư khi chia cho 3.

Giả sử đó là hai số $A,B$. Khi đó: $A-B\vdots 3\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 3(*)$
Lại có:

Nếu trong 3 số $A,B,C$ có ít nhất 2 số chẵn. Không mất tổng quát gọi 2 số đó là A và B.

Vì $A,B$ là số chính phương chẵn nên $A\vdots 4; B\vdots 4$

$\Rightarrow A-B\vdots 4\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 4$
Nếu $A,B,C$ có 1 số chẵn 2 số lẻ. Giả sử 2 số lẻ là $A,B$. Vì $A,B$ là scp lẻ nên $A,B$ chia 8 cùng dư 1.

$\Rightarrow A-B\vdots 8\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 8\vdots 4$
Nếu $A,B,C$ là 3 số lẻ. Khi đó $A-B\vdots 2; B-C\vdots 2; C-A\vdots 2$

$\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots 8\vdots 4$
Vậy $(A-B)(B-C)(C-A)\vdots 4(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow (A-B)(B-C)(C-A)\vdots (3.4=12)$

mk đã lm rùi nhưg quên mất[ từ 2 năm trc]

giả sử 2a+b chia hết cho 3 thì 2 số kia chia 3 dư 1 vì nó là scp 

nên 2b+c-2c-a = 2b-a-c chia hết cho 3

lại trừ đi 2a+b thì được b-c-3a chia hết cho 3 suy ra b-c chia hết cho 3

tương tự ta có c-a và a-b chia hết cho 3

cậu phân tích p ra sẽ triệt tiêu hết a^3, b^3 , c^3 và còn lại -3ab(a-b)-3bc(b-c)-3ca(c-a) = -3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 81

Áp dụng:

Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.

Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.

Đặt A = (x - y)(y - z)(z - x)

Vì 1 số chính phương chia 3, chia 4 đều dư 0 hoặc 1

- Vì x, y, z chia 3 dư 0 hoặc 1

=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3

=> Hiệu của chúng chia hết cho 3

=> x - y hoặc y - z hoặc z - x chia hết cho 3

=> A chia hết cho 3 (1)

- Vì x, y, z chia 4 dư 0 hoặc 1

=> Có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 4

=> Hiệu của chúng chia hết cho 4

=> x - y hoặc y - z hoặc z - x chia hết cho 4

=> A chia hết cho 4 (2)

Tư (1) và (2) kết hợp với ƯCLN (3,4) = 1 => A chia hết cho 3 x 4 => A chia hết cho 12

a;b;c là các số chính phương nên viết được dưới dạng: \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\mid x;y;z\in Z\)

Do đó, \(M=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(z-x\right)\left(z+x\right)\)

Trong 3 số x;y;z có ít nhất 2 số có cùng tính chẵn hoặc lẻ. Suy ra Tổng và Hiệu 2 số có cùng tính chẵn (hoặc lẻ) đó là số chẵn. => \(M\vdots4\)(1)Trong 3 số x;y;z nếu có 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho 3 => \(M\vdots3\)(a)Trong 3 số x;y;z nếu không có bất kỳ 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì các số dư đó khác nhau và lần lượt là: 0;1;2. Khi đó tổng 2 số có số dư =1 và số có số dư bằng 2 sẽ chia hết cho 3 =>\(M\vdots3\)(b)Từ (a) và (b) => \(M\vdots3\forall x;y;z\)(2)Từ (1) và (2) =>\(M\vdots12\forall a;b;c\)(ĐPCM)