CD

Quỹ tích điểm I là CD

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kínhAB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với đường tròn. Qua điểm Cbất kì thuộc nửa đường tròn (C khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax, By lần lượt tại D và E.

a. Chứng minh rằng:AD + BE = DE và DOE= 90 độ 

b. Chứng minh:AD.BE không đổi khi C chuyển động trên nửa (O)

c. AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N. Tứgiác CMON là hình gì? Vì sao?

d. OD cắt (O) tại P. Chứng minh P cách đều 3 cạnh của DAC

e. AH cắt CO tại H. Khi điểm C di chuyển trên nửa đường tròn (O; R) thì điểm H di chuyển trên đường nào? Vì sao?

f. Xác định vị trí của điểm Ctrên nửa đường tròn (O) đểtứgiác ADEBcó diện tích nhỏnhất

Lm ny a ko a giải ch dễ ợto

sao thời này có nhiều trai chuyên đi lừa tình thế nhỉ?

nguyen thuy linh:Ns hay lắm*bộp bộp* hiihihiii

Giải

Ta có nhận xét: tổng độ dài hai cạnh của hai hình vuông bằng AB là độ dài không đổi.

Từ O, M, O' hạ các đường vuông góc với AB như hình vẽ.

Ta có: OX bằng nửa cạnh hình vuông AICD; O'Y bằng nửa cạnh hình vuông BIEF.

=> OX + OY = 1/2 AB là đại lượng không đổi

MZ là đường trung bình của hình thang O'YXO

=> MZ = 1/2 (OX + OY) = 1/2 . 1/2 AB = 1/4 AB

Suy ra khoảnh cách từ M đến AB là đại lượng không đổi ( = 1/4 AB).

Vậy M nằm trên đường thẳng song song với AB và cách AB bằng độ dài bằng 1/4 AB

Ta có nhận xét: tổng độ dài hai cạnh của hai hình vuông bằng AB là độ dài không đổi.

Từ O, M, O' hạ các đường vuông góc với AB như hình vẽ.

Ta có: OX bằng nửa cạnh hình vuông AICD; O'Y bằng nửa cạnh hình vuông BIEF.

=> OX + OY = 1/2 AB là đại lượng không đổi

MZ là đường trung bình của hình thang O'YXO

=> MZ = 1/2 (OX + OY) = 1/2 . 1/2 AB = 1/4 AB

Suy ra khoảnh cách từ M đến AB là đại lượng không đổi ( = 1/4 AB).

Vậy M nằm trên đường thẳng song song với AB và cách AB bằng độ dài bằng 1/4 AB

đáp án là M nằm trên đường thẳng song song với AB và cách AB bằng độ dài bằng 1/4 AB 

Bạn tự vẽ hình nha!

c) Các tam giác ACM và BDM cân tại C và D; CO là phân giác góc ACM; DO là phân giác góc BDM => Các đường phân giác này cũng là đường cao => CO vuông góc với AM tại E và DO vuông góc với BM tại F => g. OEM = OFM = 90^o.

Mặt khác g.AMB =90^o(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => Từ giác OEMF là hình chữ nhật => I là trung điểm của OM => IO = OM/2 = R/2 (Không đổi)

Do đó khi M di chuyển thì trung điểm I của EF luôn cách O một khoảng không đổi R/2 => Quỹ tích trung điểm I của EF là nửa đường tròn tâm O bán kính R/2 cùng phía với nửa đường trón tâm O đường kính AB.

b.

Gọi I là điểm chính giữa cung AB \(\Rightarrow I\) cố định

Đồng thời ta có \(IA=IB\Rightarrow\Delta IAB\) vuông cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=45^0\)

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc AB cắt AI kéo dài tại F \(\Rightarrow F\) cố định

Tam giác ABF vuông cân tại B (tam giác vuông có 1 góc \(\widehat{BAI}=45^0\)) 

\(\Rightarrow\widehat{AFB}=45^0\)

Đồng thời suy ra 3 điểm A,B,F thuộc đường tròn tâm I bán kính AI cố định.

\(BCDE\) là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{CDB}=45^0\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{ADB}=45^0\)

Lại có F, D nằm cùng 1 phía nửa mặt phẳng bờ AB

\(\Rightarrow AFDB\) nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn AB)

\(\Rightarrow D\) thuộc đường tròn (I;IA) cố định khi C di động

c.

Do F thuộc (I;IA) \(\Rightarrow IB=ID\Rightarrow I\) thuộc trung trực của BD

Mà ABCD là hình vuông \(\Rightarrow AC\) là trung trực của BD

\(\Rightarrow I\in AC\)

Vậy CE luôn đi qua điểm I cố định

d.

\(\widehat{CEB}=45^0\) (BCDE là hình vuông), mà I, C, E thẳng hàng theo cmt

\(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{IFB}=45^0\)

Lại có E, F nằm cùng phía nửa mặt phẳng bờ IB

\(\Rightarrow EBIF\) nội tiếp

\(\Rightarrow E\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IBF cố định

e.

Gọi G là tâm hình vuông \(\Rightarrow BD\) và CE vuông góc nhau tại G

\(\Rightarrow\widehat{CGB}=90^0\)

Do I, C, E thẳng hàng \(\Rightarrow\widehat{IGB}=90^0\)

\(\Rightarrow G\) thuộc đường tròn đường kính IB cố định