Lời giải:

$A=2x^2+y^2+2xy+2x-2y+2023$

$=(x^2+2xy+y^2)+x^2+2x-2y+2023$

$=(x+y)^2-2(x+y)+x^2+4x+2023$

$=(x+y)^2-2(x+y)+1+(x^2+4x+4)+2018$

$=(x+y-1)^2+(x+2)^2+2018\geq 0+0+2018=2018$

Vậy GTNN của $A$ là $2018$. Giá trị này đạt tại $x+y-1=x+2=0$

$\Leftrightarrow x=-2; y=3$

\(B=2x^2+y^2-2x+2xy+2y+3=y^2+2y\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2+\left(x^2-4x+4\right)-2=\left(x+y+1\right)^2+\left(x-2\right)^2-2\ge-2\)

\(minB=-2\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(B=2x^2+y^2-2x+2xy+2y+3\\ B=\left(x^2+2xy+y^2\right)+2\left(x+y\right)+1+\left(x^2-4x+4\right)-2\\ B=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1+\left(x-2\right)^2-2\\ B=\left(x+y+1\right)^2+\left(x-2\right)^2-2\ge-2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(F=2x^2+y^2+2y\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2-x^2-2x-1-2x+2\)

\(=\left(y+x+1\right)^2+x^2-4x+1\)

\(=\left(x+y+1\right)^2+\left(x-2\right)^2-3\ge-3\forall x;y\)

=> \(MinF=-3\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

a)  ... = (x^2 -2xy + y^2)+(x^2 -2x+1)+2014=(x-y)^2 + (x-1)^2 +2014 >= 2014 

Đăngt thức xay ra khi x=y=1

\(A=2x^2+5y^2-2xy+2x+2y\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2x+1\right)+\left(4y^2+2.2y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-1-\frac{1}{4}\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(2y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)

Ta thấy: \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(x+1\right)^2\ge0;\left(2y+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(2y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow Min_A=-\frac{5}{4}\). 

Lời giải:

$2Q=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3998$

$=(x^2+2xy+y^2)+x^2+y^2-6x-6y+3998$

$=(x+y)^2-4(x+y)+(x^2-2x)+(y^2-2y)+3998$

$=(x+y)^2-4(x+y)+4+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+3992$

$=(x+y-2)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+3992\geq 3992$

$\Rightarrow Q\geq 1996$

Vậy $Q_{\min}=1996$ khi $x+y-2=x-1=y-1=0\Leftrightarrow x=y=1$

------------------

$R=(x^2+2xy+y^2)+x^2-2x+2y+15$

$=(x+y)^2+2(x+y)+x^2-4x+15$

$=(x+y)^2+2(x+y)+1+(x^2-4x+4)+10$

$=(x+y+1)^2+(x-2)^2+10\geq 10$
Vậy $R_{\min}=10$ khi $x+y+1=x-2=0$

$\Leftrightarrow x=2; y=-3$

a, = x^2 -2xy +y^2 +(x^2-2x+1)+2

    = (x-y)^2 + (x-1)^2 + 2

GTNN bằng 2 khi: x-y=0 và x-1=0

Suy ra: x = y = 1

Vậy GTNN của biểu thức trên là: 2 tại x=y=1

b, = -x^2 -y^2 -1 + 2xy -2x +2y - y^2 + 8y - 16 + 17

    = -(x^2 +y^2+1-2xy+2x-2y)-(y^2 -8y+16)+17

    = -(x-y+1)^2 -(y-4)^2 +17

GTLN bằng 17 khi: x-y+1 =0 và y-4=0

                                   x-4+1=0 và y=4

                                   x=3 và y=4

Vậy GTLN của biểu thức là 17 tại x=3,y=4.

Chúc bạn học tốt.

\(A=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+1\)

\(A=\left(x^2+2xy+y^2\right)+2\left(x+y\right)+1+x^2-4x+4-4\)

\(A=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1+\left(x+2\right)^2-4\)

\(A=\left(x+y+1\right)^2+\left(x+2\right)^2-4\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi: x=2, y=-3

ta có 2A=\(4x^2+4xy+2y^2-4x+4y+2=4x^2+y^2+1-4x+4xy-2y+y^2+6y+9-8\)

       \(=\left(2x+y-1\right)^2+\left(y+3\right)^2-8\ge-8\)

=>\(A\ge-4\)

dấu = xảy ra <=> y=-3 và x=2

^_^

\(A=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+1\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+2x-4x+2y+1+x^2\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(2x+2y\right)+\left(x^2-4x+1\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+\left(x^2-4x+4\right)-4+1\)

\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1+\left(x-2\right)^2-4\)

\(=\left(x+y+1\right)^2+\left(x-2\right)^2-4\ge-4\)

Min A=-4 khi \(\hept{\begin{cases}x+y+1=0\\x-2+0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=-3\\x=2\end{cases}}}\)