\(a)\)\(ƯCLN\left(7n+8;8n+9\right)\)\(d\)

\(\Rightarrow\) \(\left(7n+8\right)⋮d\) và \(\left(8n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(8\left(7n+8\right)⋮d\) và \(7\left(8n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(56n+64\right)⋮d\) và \(\left(56n+63\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(56n+64-56n-63\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(1⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(1\right)\)

Mà \(Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\) 

Nên \(ƯCLN\left(7n+8;8n+9\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Vậy \(\frac{7n+8}{8n+9}\) là phân số tối giản 

Chứng tỏ các phân số sau tối giản với mọi n thuộc N

a,n+3/n+4

Để phân số \(\dfrac{n+3}{n+4}\) tối giản thì [n+3;(n+4)] là hai số nguyên tố cùng nhau thì:

[n+3;(n+4)]=1

Gọi d là ước chung lớn nhất[n+3;(n+4)]

\(\Rightarrow\) [n+3;(n+4)]=d

\(\Rightarrow\) n+3\(⋮\)d\(\Rightarrow\)n+3\(⋮\)d\(\Rightarrow\)n+3\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)n+4\(⋮\)d\(\Rightarrow\)n+4\(⋮\)d\(\Rightarrow\)n+4\(⋮\)d

\(\Rightarrow\) [n+4;(n+3)]\(⋮\)d\(\Rightarrow\)[n+4-n-3]\(⋮\)d=>-1\(⋮\)d=>d=1

Nên n+4;n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy \(\dfrac{n+3}{n+4}\) là phân số tối giản

a)Gọi ƯCLN (\(n+3;2n+5\))=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(n+3\right)⋮d\Rightarrow2\left(n+3\right)⋮d\Rightarrow\left(2n+6\right)⋮d\\\left(2n+5\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

⇒ƯCLN (\(n+3;2n+5\))=1

\(\Rightarrow\frac{n+3}{2n+5}\)là phân số tối giản(đpcm)

b)Gọi ƯCLN (\(2n+9;3n+14\))=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2n+9\right)⋮d\Rightarrow3\left(2n+9\right)⋮d\Rightarrow\left(6n+27\right)⋮d\\\left(3n+14\right)⋮d\Rightarrow2\left(3n+14\right)⋮d\Rightarrow\left(6n+28\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(6n+28\right)-\left(6n+27\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

⇒ƯCLN (\(2n+9;3n+14\))=1

\(\Rightarrow\frac{2n+9}{3n+14}\) là phân số tối giản.(đpcm)

c)Gọi ƯCLN(\(6n+11;2n+5\))=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(6n+11\right)⋮d\\\left(2n+5\right)⋮d\Rightarrow3\left(2n+5\right)⋮d\Rightarrow\left(6n+15\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(6n+15\right)-\left(6n+11\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4⋮d\)

Mà \(\left(6n+15\right);\left(6n+11\right)⋮̸2\)

\(\Rightarrow d=1\)

⇒ƯCLN(\(6n+11;2n+5\))=1

\(\Rightarrow\frac{6n+11}{2n+5}\)là phân số tối giản (đpcm)

d)Gọi ƯCLN(\(12n+1;30n+2\))=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(12n+1\right)⋮d\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\Rightarrow\left(60n+5\right)⋮d\\\left(30n+2\right)⋮d\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\Rightarrow\left(60n+4\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

⇒ƯCLN(\(12n+1;30n+2\))=1

\(\Rightarrow\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản (đpcm)

e)Gọi ƯCLN(\(21n+4;14n+3\))=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(21n+4\right)⋮d\Rightarrow2\left(21n+4\right)⋮d\Rightarrow\left(42n+8\right)⋮d\\\left(14n+3\right)⋮d\Rightarrow3\left(14n+3\right)⋮d\Rightarrow\left(42n+9\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(42n+9\right)-\left(42n+8\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

⇒ƯCLN(\(21n+4;14n+3\))=1

\(\Rightarrow\frac{21n+4}{14n+3}\)là phân số tối giản (đpcm)

f) Gọi ƯCLN(\(2n+3;n+2\))=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2n+3\right)⋮d\\\left(n+2\right)⋮d\Rightarrow2\left(n+2\right)⋮d\Rightarrow\left(2n+4\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+4\right)-\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

⇒ƯCLN(\(2n+3;n+2\))=1

\(\Rightarrow\frac{2n+3}{n+2}\)là phân số tối giản (đpcm)
g) Gọi ƯCLN(\(n+1;3n+2\))=d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow3\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow\left(3n+3\right)⋮d\\\left(3n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3n+3\right)-\left(3n+2\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

⇒ƯCLN(\(n+1;3n+2\))=1

\(\Rightarrow\frac{n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản (đpcm)

giúp mk với , mk năn nỉ đó

Giải: Đặt: (2n^2 + 3n + 1 ; 3n + 2 ) = d

=> \(\hept{\begin{cases}2n^2+3n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n^2+3n+1\right)⋮d\\2n\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}\)

=> 3 ( 2n^2 + 3n + 1 ) - 2n ( 3n + 2 ) \(⋮\)d

=> 5n + 3 \(⋮\)d 

=> ( 5n + 3 ) - ( 3n + 2 ) \(⋮\)d

=> 2n + 1 \(⋮\)d 

=> (3n + 2 ) - (2n + 1) \(⋮\)d

=> n + 1 \(⋮\)d

=> ( 2n + 1 ) - ( n + 1) \(⋮\)d

=> n \(⋮\)d 

=> ( n +1 ) - n \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d  => d = 1

=> ( 2n^2 + 3n + 1 ; 3n + 2 ) =1

=> ( 2n^2 + 3n + 1) / ( 3n + 2 ) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 

câu 1 là mọi n nhé

Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 3n + 1 là d, ta có:

\(2n+1⋮d\) và \(3n+1⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(2n+1\right)⋮d;2\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left(6n+3\right)-\left(6n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6n+3-6n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{2n+1}{3n+1}\)là p/s tối giản với mọi n

Ta có : \(\frac{3}{10}=\frac{3}{10};\frac{3}{11}< \frac{3}{10};\frac{3}{12}< \frac{3}{10};\frac{3}{13}< \frac{3}{10};\frac{3}{14}< \frac{3}{10}\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{15}{10}=1,5\left(1\right)\)

Ta lại có : \(\frac{3}{10}>\frac{3}{15};\frac{3}{11}>\frac{3}{15};\frac{3}{12}>\frac{3}{15};\frac{3}{13}>\frac{3}{15};\frac{3}{14}>\frac{3}{15}\)

\(\Rightarrow A>\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}=1\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow1< A< 1,5\)

=> ĐPCM

a) Đặt \(d=\left(n+1,2n+3\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)=1⋮d\)

Suy ra \(d=1\). 

Do đó ta có đpcm. 

b) Bạn làm tương tự ý a). 

c) Đặt \(d=\left(3n+2,5n+3\right)\).

Ta có: \(\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(5n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow5\left(3n+2\right)-3\left(5n+3\right)=1⋮d\).

Suy ra \(d=1\). 

Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d =>  n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d 
 => n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d 
do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết cho d  hay n^2 +1 chia hết cho d (1)
=> (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d  
=>  (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2+1) chia hết cho d hay n^2 chia hết cho d (2)
Từ (1) và (2) => (n^2+1) - n^2 chia hết cho d  hay 1 chia hết cho d  
Do đó  (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) =1 hoặc -1 suy ra \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)là phân số tối giản (Đ.P.C.M)

tk cho mk nha $_$