Cho hình vuông ABCD, gọi E, F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD (E, F khác các đỉnh hình vuông) sao cho góc EAF=45 độ . Đường chéo BD cắt AE, AF lần lượt tại M và N. Tính EF/MN
Xem hình vuông abcd trên cạnh BC lấy điểm E bất kì e không trùng BC Trên cạnh CD lấy điểm F bất kì f không trùng CD,sao cho góc EAF+45 độ đường chéo BD của hình vuông ABCD cắt AE,AF lần lượt tại M và N
a) c/m tứ giác abfm nội tiếp
b) c/m khi e và f di động,đường thẳng EF lluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
a) Để chứng minh tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc AMB + góc AFB = 180 độ.
Góc AMB là góc giữa đường chéo BD và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường chéo BD cắt AE tại M, nên góc AMB chính là góc EAM.
Góc AFB là góc giữa đường thẳng EF và cạnh AB của hình vuông ABCD. Vì đường thẳng EF song song với cạnh AB, nên góc AFB bằng góc EAF.
Theo đề bài, góc EAF + 45 độ = 180 độ. Do đó, góc EAF = 180 - 45 = 135 độ.
Vậy, ta có góc AMB + góc AFB = góc EAM + góc EAF = 135 độ + 135 độ = 270 độ = 180 độ.
Vì tổng hai góc AMB và AFB bằng 180 độ, nên tứ giác ABFM là tứ giác nội tiếp.
b) Khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, ta cần chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Gọi O là giao điểm của đường chéo BD và đường thẳng EF. Ta cần chứng minh rằng O nằm trên một đường tròn cố định khi E và F di động.
Vì góc EAF + 45 độ = 180 độ, nên góc EAF = 135 độ. Điều này có nghĩa là tam giác EAF là tam giác cân tại A.
Do đó, đường trung tuyến MN của tam giác EAF là đường cao và đường trung trực của cạnh EF. Vì M và N lần lượt là giao điểm của đường trung tuyến MN với AE và AF, nên M và N là trung điểm của AE và AF.
Vì M và N là trung điểm của hai cạnh của hình vuông ABCD, nên OM và ON là đường trung trực của AB và AD. Do đó, O nằm trên đường trung trực của cạnh AB và AD.
Vì AB và AD là hai cạnh cố định của hình vuông ABCD, nên đường trung trực của AB và AD là đường thẳng cố định. Vậy, O nằm trên một đường tròn cố định.
Vì vậy, khi E và F di động trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm E và F sao cho góc EAF=45 độ. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các đoạn EA, AF với đường chéo BD. chứng minh rằng tam giác AQE vuông cân.
hình như lê bích ngọc chép mạng
Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD; trên đoạn thẳng CN lấy điểm E sao cho E nằm giữa C và N. Vẽ tia Ox nằm giữa hai tia OD và OC sao cho góc EOx = 45 độ, tia Ox cắt DC tại F. Chứng minh rằng: góc AFD = góc BME.
hình chữ nhật ABCD và điểm E trên đường chéo BD sao cho góc DAE = 15 độ. Qua E lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với AE và AB cắt AB tại M và F. Biết EF = 1/2AB. a) Chứng minh B là trung điểm của AM. b) Cho EF = a. Tính góc BAC và diện tích hình chữ nhật ABCD
Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E và F sao cho góc EAF = 45 độ. Các đoạn thẳng AE,AF cắt BD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh tứ giác EHKF nội tiếp
Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E và F sao cho góc EAF 45 độ. Các đoạn thẳng AE,AF cắt BD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh tứ giác EHKF nội tiếp
Hai điểm E và F nằm trên cạnh CD của một hình chữ nhật ABCD sao cho DE=EF=FC. AE và AF cắt BD lần lượt tại X và Y. Tính tỉ số XY/BD giúp mình với
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD,DC lần lượt lấy các điểm E,F sao cho AE=DF. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của EF,BF.
a, Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau
b,Chứng minh MN vuông góc AF
xét tam giác ADF vuông tại D
tam giác BAE vuông tại A
có AB = AD ( t/c Hvuông)
AE = DF ( GT)
=> \(\Delta ADF=\Delta BAE\) ( 2cgv)
=> \(\widehat{B_1}=\widehat{A_1}\) (2 góc t/ư)
b) có AB // CD (t/c Hvuông)
=> \(\widehat{A_2}=\widehat{AFD}\) (2 góc SLT)
tam giác ADF có \(\widehat{D}=90^0\)=>\(\widehat{A_1}+\widehat{AFD}=90^0\)
mà \(\widehat{B_1}=\widehat{A_1},\widehat{A_2}=\widehat{AFD}\) (cmt)
=>\(\widehat{A_2}+\widehat{B_1}=90^0\)
tam giác ABO có \(\widehat{A_2}+\widehat{B_1}+\widehat{AOB}=180^0\) (tổng 3 góc trong 1 tam giác)
=>\(\widehat{AOB}=180^0-90^0=90^0\)
=> AF vuông góc vs OB
hay AF vuông góc vs EB (1)
có MN là đường trung bình của tam giác EBF(vì M là trug điểm EF, N là trung điểm BF) => MN // EB (2)
từ (1) và (2) => MN vuông góc vs AF
cho hình thang ABCD có AB song song CD ( AB< CD) và M là trung điểm của AD. Qua M vẽ đường thẳng song song với 2 đáy của hình thang cắt cạnh bên BC tại N và cắt 2 đường chéo BD và AC lần lượt tại E. F.
a) Chứng mình rằng N, E, F lần lượt là trung điể cạnh BC , BD, AC.
b) Gọi I là trung điểm của AB. Đuo82ng thẳng vuông góc với IE tại E và đường thẳng vuông góc với IF tại F cắt nhau ở K. Chứng minh KC = KD.