3. a) Coi A = ab+1
A = 111...11(n chữ số 1) .10ⁿ + 5 .111...11(n chữ số 1) + 1
 \(A= \frac {10^n - 1} {9} + 5 \frac { 10^n -1} {9}+1 \)

\(A= \frac {10^2n - 10^n + 5.10^n -5 + 9} {9}\)

\(A =\frac {10^{2n} + 4.10^n + 4} {9}\)

\(A =\frac {(10^n + 2)^2} {3^2}\)

\(A=(\frac{10^n+2} {3}) ^2\)
Vậy A là số chính phương (vì 10ⁿ+2 chia hết cho 3)

b)Ta thấy 16 = 1.15 + 1
               1156 = 11.105 + 1
               111556 = 111.1005 + 1
...            111...1555...56(n chữ số 1,n-1 chữ số 5) = 111...1(n chữ số 1).100...05(n-1 chữ số 0) +1 (phần a)
               Vẫy các số hạng trong dãy trên đều là số chính phương

3a)(dấu * là nhân nhé)

Có ab+1

=11...1*100...05+1

=11...1*(33...35(n-1 chữ số 3)*3)+1

=33...3*33...35+1

=33...3*(33...34+1)+1

=33...3*33...34+(33...3+1)

=33...3*33...34+33...34(n-1 chữ số 3)

=33...34*(33...3+1)

=33...34*33...34(n-1 chữ số 3)

=(33...34)^2 là số chính phương

1 , 

chung minh rang : 

( n-1 ) ^ 3 < ( n - 1 ) n ( n +1 ) = n (n ^ 2 -1 ) = n ^3 -n < n^3

( viet hoi tat tu hieu nhe )

Đặt \(3n^3+3n-101=a^3\)

\(\Leftrightarrow3n\left(n+1\right)-101=a^3\)

Thấy \(3n\left(n+1\right)\) là số chẵn,\(101\) lẻ nên \(n^3\) là số lẻ

Đặt \(n=2k+1\)

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n\right)-101=8k^3+12k^2+6k+1\)

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n-34\right)=8k^3+12k^2+6k\)

Thấy VT chia hết cho 3;\(12k^2+6k\) chia hết cho 3 nên \(8k^3\) chia hết cho 3

Mà \(\left(8;3\right)=1\Leftrightarrow k⋮3\)

Đặt \(k=3m\) ta có:

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n-34\right)=8\cdot27m^3+12\cdot9m^2+6\cdot3m\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-34=6\left(12m^3+6m^2+m\right)\)

Nếu n chia hết cho 3 thì VT chia 3 dư 2 trong khi đó VP chia hết cho 3 ( loại )

Nếu m chia 3 dư 1 thì VT chia 3 dư 1 trong khi đó VP chia hết cho 3 ( loại )

Nếu m chia 3 dư 2 thì VT chia 3 dư 2 trong khi đó VP chia hết cho 3  ( loại )

Vậy không tồn tại n nguyên thỏa mãn đề bài.

nhìn là hết muốn làm

sao dài dòng quá vậy, như thế thì ai mà làm nổi, bạn phải hỏi từng bài 1 chứ

Nhìn là muốn chạy rùi

^-^

p thử lên mạng mà tra từng câu 1 mik nghĩ là có

đăng giết người à           

Nhìn là hết muốn làm.

Làm 1;2;3;4 bài 1 lần thôi chứ sao 15 bài 1 lúc ?

Nghĩ ai rảnh mà giải ah ?

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n-5=a^3\left(1\right)\\n+2=b^3\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(a,b\inℤ;a< b\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=a^3+5\)

Thay vào (2), ta có \(a^3+5+2=b^3\Leftrightarrow b^3-a^3=7\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b^2+ab+a^2\right)=7\)

Vì \(a< b\Leftrightarrow b-a>0\), mà \(\left(b-a\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=7>0\)\(\Rightarrow a^2+ab+b^2>0\)

Ta chỉ xét 2 trường hợp:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=1\\a^2+ab+b^2=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+1\\a^2+a\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2=7\end{matrix}\right.\)

Giải phương trình thứ hai, ta được \(a^2+a^2+a+a^2+2a+1=7\)\(\Leftrightarrow3a^2+3a-6=0\)\(\Leftrightarrow a^2+a-2=0\)\(\Leftrightarrow a^2-a+2a-2=0\)\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)+2\left(a-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-2\end{matrix}\right.\) (nhận)

Với \(a=1\) thì \(b=a+1=1+1=2\) (nhận)  từ đó \(n-5=a^3=1^3=1\Rightarrow n=6\)

Thử lại: \(n+2=6+2=8=2^3=b^3\) (nhận)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=7\\a^2+ab+b^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+7\\a^2+a\left(a+7\right)+\left(a+7\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

Giải phương trình thứ hai, ta được \(a^2+a^2+7a+a^2+14a+49=1\)\(\Leftrightarrow3a^2+21a+48=0\)\(\Leftrightarrow a^2+7a+16=0\)\(\Leftrightarrow4a^2+28a+64=0\)\(\Leftrightarrow\left[\left(2a\right)^2+2.2a.7+7^2\right]+15=0\)\(\Leftrightarrow\left(2a+7\right)^2+15=0\)\(\Leftrightarrow\left(2a+7\right)^2=-15\) (vô lí)

Vậy ta loại TH2

Do đó để \(n-5\) và \(n+2\) đều là lập phương của 1 số nguyên thì \(n=6\)