Lời giải:
\(\frac{9n-51}{8n-53}=\frac{\frac{9}{8}(8n-53)+\frac{69}{8}}{8n-53}\\ =\frac{9}{8}+\frac{69}{8(8n-53)}\)

Để phân số trên max thì $\frac{69}{8(8n-53)}$ max.

Điều này xảy ra khi $8n-53$ là số dương nhỏ nhất 

$\Rightarrow n$ phải là số nguyên dương nhỏ nhất để $8n-53$ là số dương nhỏ nhất.

$8n-53>0\Rightarrow n> 6,625$

$\Rightarrow$ số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn là $7$.

\(^∗\)Xét \(n=2011\)thì \(S\left(2011\right)=2011^2-2011.2011+2010=2010\)(vô lí)

\(^∗\)Xét \(n>2011\)thì \(n-2011>0\)do đó \(S\left(n\right)=n\left(n-2011\right)+2010>n\left(n-2011\right)>n\)(vô lí do \(S\left(n\right)\le n\))

* Xét \(1\le n\le2010\)thì \(\left(n-1\right)\left(n-2010\right)\le0\Leftrightarrow n^2-2011n+2010\le0\)hay \(S\left(n\right)\le0\)(vô lí do \(S\left(n\right)>0\))

Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn đề bài

ta có:\(\frac{n-7}{n+1}=\frac{n+1-8}{n+1}=1-\frac{8}{n+1}\)

để \(n-7⋮n+1\Rightarrow\frac{n-7}{n+1}\in Z\)

\(\Rightarrow1-\frac{8}{n+1}\in Z\Leftrightarrow\frac{8}{n+1}\in Z\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)

do n nguyên dương nên \(\Rightarrow n+1\in\left\{1;2;4;8\right\}\)

bạn tính nốt n nhé

Đề không đầy đủ. Bạn xem lại nhé.

n=7 nha bạn

giải hộ mình

7 mà bạn

2.n+3 chia hết cho n-1

=>2n-3+6 chia hết cho n-1

=>2(n-1)chia hết cho n-1

=>6 chia hết cho n-1

=>n-1\(\inƯ\left(6\right)\)={1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6}

=>\(n\in\left\{-5,-3,-2,-1,0,2,3,4,5,7,\right\}\)

@Thắng trước khi cậu làm cậu có nhìn đề bài cho điều kiện j ko vậy ? , chưa kể bài làm sai . 

\(2n+3⋮n-1\)

\(2\left(n-1\right)+5⋮n-1\)

\(5⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Vì n là số nguyên dương 

Nên n = 2;0;6 

Brainchild làm đúng, nhưng Thắng thì làm sai

có 1 số là số âm 

n-1 là số âm hoặc n-3 là số âm

vì n-1>n-3 nên n-3 phải là số âm còn n-1 là số dương

n-1>0

n-3<0

suy ra 1<n<3

n=2