Ta biến đổi: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3+4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3+4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\ge0\)

Xét: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left[4\left(a^2-ab+b^2\right)-\left(a+b\right)^2\right]\)

\(=3\left(x+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Tương tự với: \(4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\) và \(4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\)

Ta suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2\)

\(a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b\)

\(\Rightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3ab(a+b)\)

\(\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3\)

Tương tự:

\(\left\{\begin{matrix} 4(b^3+c^3)\geq (b+c)^3\\ 4(c^3+a^3)\geq (c+a)^3\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế:

\(8(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Xét : a^3+b^3-ab.(a+b)

= (a+b).(a^2-ab+b^2)-ab.(a+b)

= (a+b).(a^2-2ab+b^2)

= (a+b).(a-b)^2 >= 0 ( vì a;b > 0 )

=> a^3+b^3 >= ab.(a+b)

<=> (a+b)^3 = a^3+b^3+3ab.(a+b) < = a^3+b^3+3a^3+3b^3 = 4a^3+4b^3

Tương tự ........

=> (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 < = 8a^3+8b^3+8c^3 = 8.(a^3+b^3+c^3)

=> ĐPCM

Tk mk nha

*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*

Biến đổi thành

4(a³+b³)-(a+b)³+4(a³+b³)-(b+c)³+4(c³+a³)-(c+a)³ >=0

xét 4(a³+b³)-(a+b)³ =(a+b)[4(a²-ab+b²)-(a+b)²]

                                =3(a+b)(a-b)² >=0

tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)

=> đpcm

đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Ta có : \(4\left(a^3+b^3\right)=4a^3+4b^3\)(1)

\(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2\)(2)

Từ 1 và 2 \(< =>3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\)

\(< =>a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

\(< =>a+b\ge b+a\left(đpcm\right)\)

Ko chắc lắm vì t ms lớp 6 :((

Đặt BĐT cần c/m là A

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)

\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:

\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))

\(VT\ge\sum\left(\dfrac{a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{a^3}{\sum a+a}\right)=\sum\dfrac{a^3}{3+a}\)

Ta có BĐT phụ :

\(\dfrac{a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{16}\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(16a+21\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a>0)

Áp dụng BĐT (*) ta có :

\(\sum\dfrac{a^3}{3+a}\ge\dfrac{11\sum a-21}{16}=\dfrac{33-21}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

<3 

Cần CM: \(\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}a-\frac{27}{16}\)\(\left(0< a< 1\right)\)

thaajt vậy, bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-\frac{1}{3}\right)^2\left(15a^2-38a+27\right)\ge0\) đúng 

\(\Sigma\frac{a}{\left(b+c\right)^3}=\Sigma\frac{a}{\left(1-a\right)^3}\ge\frac{135}{16}\left(a+b+c\right)-\frac{81}{16}=\frac{27}{8}\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 

à nhầm, \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bạn xem lời giải ở đây nhé https://olm.vn/hoi-dap/question/960694.html

Another way CLICK HERE