Ta có : \(\frac{\overline{ab}}{a+b}=\frac{\overline{bc}}{b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{10a+b}{a+b}=\frac{10b+c}{b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{9a}{a+b}=\frac{9b}{b+c}\Rightarrow\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}\)

=> a(b + c) = b(a + b)

=> ab + ac = ab + bb

=> ac = bb

=> \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\left(\text{đpcm}\right)\)

2) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{ab}{b}=\frac{bc}{c}=\frac{ca}{a}=\frac{ab+bc+ca}{b+c+a}=\frac{\left(10a+b\right)+\left(10b+c\right)+\left(10c+a\right)}{a+b+c}=\frac{11.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=11\)

\(\Rightarrow\begin{cases}ab=11b\\bc=11c\\ca=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a+b=11b\\10b+c=11c\\10c+a=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a=10b\\10b=10c\\10c=10a\end{cases}\)\(\Rightarrow10a=10b=10c\)

=> a = b = c (đpcm)

soyeon_Tiểubàng giải bạn giúp bn ấy ik trong đó có câu 2 mk cần ó

1) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{ab}{bc}=\frac{b}{c}=\frac{ab-b}{bc-c}=\frac{\left(10a+b\right)-b}{\left(10b+c\right)-c}=\frac{10a}{10b}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)

Ta có:

\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}\)

Mà: \(\left\{\begin{matrix}\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{10a+b+10b+c}{a+b}=9a+10b+c\\\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{10b+c+10c+a}{b+c}=9b+10c+a\\\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=\frac{10c+a+10a+b}{c+a}=9c+10a+b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow9a+10b+c=9b+10c+a=9c+10a+b\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}9a=9b=9c\\10b=10c=10a\\c=a=b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy \(a=b=c\) (Đpcm)

+ \(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=\frac{\overline{ab}+\overline{bc}-\overline{bc}-\overline{ca}+\overline{ca}+\overline{ab}}{a+b-b-c+c+a}=\frac{2\overline{ab}}{2a}=10+\frac{b}{a}\)

+ \(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=\frac{\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{bc}+\overline{ca}-\overline{ca}-\overline{ab}}{a+b+b+c-c-a}=\frac{2\overline{bc}}{2b}=10+\frac{c}{b}\)

+ \(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=\frac{-\overline{ab}-\overline{bc}+\overline{bc}+\overline{ca}+\overline{ca}+\overline{ab}}{-a-b+b+c+c+a}=\frac{2\overline{ca}}{2c}=10+\frac{a}{c}\)

=> \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{b+c+a}{a+b+c}=1\Rightarrow a=b=c\)

Ta có: 

\(\frac{\overline{ab}}{\overline{bc}}=\frac{b}{c}\)

<=> \(\frac{a.10+b}{b.10+c}=\frac{b}{c}\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a.10+b}{b.10+c}=\frac{b}{c}=\frac{10a+b-b}{10b+c-c}=\frac{10a}{10b}=\frac{a}{b}\)

=> \(\frac{b}{c}=\frac{a}{b}\Rightarrow b^2=ac\)

khi đó: \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)

Vậy:...

Có : \(\dfrac{\overline{ab}}{\overline{bc}}=\dfrac{a}{c}\Rightarrow\dfrac{10a+b}{10b+c}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{9a+b}{10b}\)( áp dụng dãy tỉ số bằng nhau)

\(=\dfrac{111...11.\left(9a+b\right)}{111..11.10b}\)(có n chữ số 1 trong số 111..111)

\(\dfrac{999..99a+111..11b}{111..110b}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{999..99a+a+111..11b}{111..110b+c}=\dfrac{100...000a+111...11b}{111..110b+c}\)=\(\dfrac{\overline{abbb...bb}}{\overline{bbb..bbc}}=\dfrac{a}{c}\)

Bài 1:

$1+2+3+...+n=\overline{aaa}$

$\Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2}=a.111$

$\Leftrightarrow n(n+1)=a.222\vdots 37$ nên suy ra $n\vdots 37$ hoặc $n+1\vdots 37$

Nếu $n\vdots 37$. Đặt $n=37k$ với $k\in\mathbb{N}^*$

Khi đó: $37k(37k+1)=222a\Rightarrow k(37k+1)=6a$

$6a\leq 54$ do $a\leq 9; 37k+1\geq 38$ do $k\geq 1$

$\Rightarrow k=\frac{6a}{37k+1}< 2\Rightarrow k=1$

$\Rightarrow 6a=38$ (vô lý)

Nếu $n+1\vdots 37$. Đặt $n+1=37k$ với $k\in\mathbb{N}^*$

Khi đó: $(37k-1).37k=222a\Rightarrow k(37k-1)=6a$

$6a\leq 54$ do $a\leq 9$; $37k-1\geq 36$ do $k\geq 1$

$\Rightarrow k=\frac{6a}{37k-1}< 2\Rightarrow k=1$

$\Rightarrow n=36; a=6$

Bài 2: $5z=7z$ hình như sai, bạn coi lại đề.

Bài 3:

\(\frac{\overline{ab}}{a+b}=\frac{\overline{bc}}{b+c}\Leftrightarrow \frac{10a+b}{a+b}=\frac{10b+c}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow \frac{9a+(a+b)}{a+b}=\frac{9b+(b+c)}{b+c}\Leftrightarrow \frac{9a}{a+b}+1=\frac{9b}{b+c}+1\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow ab+ac=ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (đpcm)

Bài 2 sau khi đã sửa đề thành $5x=7z$:

Ta có:
\(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{14}(1)\)

\(5x=7z\Leftrightarrow \frac{x}{7}=\frac{z}{5}\Leftrightarrow \frac{x}{21}=\frac{z}{15}(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}$ và đặt bằng $k$

$\Rightarrow x=21k; y=14k; z=15k$

Khi đó:

$x-2y+z=32$

$\Leftrightarrow 21k-28k+15k=32\Leftrightarrow 8k=32\Rightarrow k=4$

$\Rightarrow x=21k=84; y=14k=56; z=15k=60$