Chứng minh N là số nguyên ta cần c/m : 2007^2009 – 2013^1999 có chữ số tận cùng bằng 0

xét  2007^2009 = (((2007²)²)^{502 =} 2007.((......9)²)⁵⁰²= 2007.(....1) có tận cùng là 7

xét  2013^1999= (((2013)²)²)⁴⁹⁹= (....7) .( (....9)²)⁴⁹⁹= (....7) . (...1) có cs tận cùng là 7

=>  2007^2009 – 2013^1999 có chữ số tận cùng bằng 0

Vậy N là số nguyên

tk mình nha

Chứng minh N là số nguyên ta cần c/m : 20072009 – 20131999 có chữ số tận cùng bằng 0.Ta có 20072009 = 2007. ( )5022 2((2007) )= 2007 . ( )5022(...9)= 2007. (….1) có chữ số tận cùng bằng 7. 20131999 = 20133 . ( ) ( )499 4992 2 2((2013) ) (...7) (...9) (...7) (...1)= × = × có chữ số tận cùng bằng 7Vậy 20072009 – 20131999 có chữ số tận cùng bằng 0 ⇒ N là một số nguyên.
 

thanks Hải Anh nha

2007^2009 có tận cùng là: 2009:4 dư 1 => 2007^2009 tận cùng là 7

2013^1999 có tận cùng là: 1999:4 dư 3 => 2013^1999 tận cùng là 7

=> 2007^2009 - 2013^1999 chia hết cho 10 và là 1 so thực

=> N=0,7.10.k=7k là 1 số nguyên

=> N là số nguyên

\(N=0,7.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

\(=\frac{7}{10}.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

N là số tự nhiên thì ta cần chứng minh \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

Ta có: \(2007^{2009}=2007^{4.502}.2007=\overline{...1}.2007=\overline{...7}\)

và \(2013^{1999}=2013^{4.499}.2013^3=\overline{...1}.\overline{...7}=\overline{...7}\)

Do đó \(2007^{2009}\)\(-2013^{1999}=\)\(\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}\)

Vậy \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

=> đpcm

N=7.(2007^2009-2013^1999)/10 (1) 
{Để chứng minh N nguyên thì cần c/m:2007^2009-2013^1999 chia hết cho 10} 
Ta có: 

*2007^2009 
=2007.(2007^4)^502 
=2007.(...1)^502 
=2007.(...1)=(...7) 

*2013^1999 
=2013^3.(2013^4)^499 
=(...7).(...1)^499 
=(...7).(...1)=(...7) 

=>2007^2009-2013^1999 
=(..7)-(...7)=(...0) 
nên chia hết cho 10 (2) 
Từ (1),(2)=>N thuộc Z và N là hợp số vì N chia hết cho 7 

Ta dùng đồng dư nha !

Giả sử N là số tự nhiên,khi đó \(2007^{2009}-2013^{1999}⋮10\)

Ta có:

\(2007\equiv7\left(mod10\right)\Rightarrow2007^4\equiv7^4\left(mod10\right)\equiv2401\left(mod10\right)\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2007^{2008}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow2007^{2009}\equiv7\left(mod10\right)\)

\(2013\equiv3\left(mod10\right)\Rightarrow2013^4\equiv3^4\left(mod10\right)\equiv81\left(mod10\right)\equiv1\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2013^{1998}\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow2013^{1999}\equiv3\left(mod10\right)\)

Khi đó:

\(2007^{2009}-2013^{2019}\equiv7-3\left(mod10\right)\equiv4\left(mod10\right)\)

Vậy ta có đpcm

N = \(0,7.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

N = \(\frac{7}{10}.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

Để N đạt giá trị nguyên 

=> 2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ chia hết cho 10

Ta có :

2007²⁰⁰⁹ = 2007.(2007⁴)⁵⁰² = 2007.(.....1)⁵⁰² = 2007.(......1) = (......7)

2013¹⁹⁹⁹ = 2013³.(2013⁴)⁴⁹⁹ = (......7).(.....1)⁴⁹⁹ = (.....7).(.....1) = (......7)

2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ = (......7) - (.....7) = 0

=> 2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ chia hết cho 10

=> N là số nguyên